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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 16

Represente graficamente a equação seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

y = 1 - x + 1 3

Passo 1

Primeiramente, vemos que a função é um polinômio, logo seu domínio é R .

Vamos calcular a derivada primeira e segunda da função:

y ' =   - 3 x + 1 2

y ' ' =   - 6 ( x + 1 )

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' = - 3 x + 1 2 = 0 → x + 1 = 0 → x = - 1

E pelo teste da derivada segunda, y ' ' - 1 = 0 , , então aqui não podemos definir o tipo de extremo ainda (pode não ser nem mínimo nem máximo também)

Vamos continuar...

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

y ' = - 3 x + 1 2

Sabemos que a função y ' resulta em zero quando x = - 1 . Porém, observe que x + 1 2 > 0   ∀ x ∈ R (números ao quadrado sempre dão positivo).

Então, como temos um número negativo multiplicando do lado de fora, y ' < 0 para qualquer valor de x, logo nossa função é sempre decrescente.

Vejamos a concavidade...

Nossa derivada deu y ' ' = - 6 x + 1 > 0 → x + 1 < 0 → x < - 1

Então a concavidade é para cima quando x < - 1 e para baixo quando x > - 1 .

E então o ponto de inflexão é: ( - 1 ,   1 ) .

Passo 4

A raiz não é exata, então veremos só onde a função corta o eixo y :

x → 0 = 1 - 0 + 1 3 = 0

Ponto (0,0).

Passo 5

Juntando as informações e os pontos encontrados, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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