Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.7 - Ex. 27
Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de , determinando o seguinte:
Os extremos relativos de ;
Os pontos de inflexão do gráfico de ;
Os intervalos em que é crescente
Os intervalos em que é decrescente;
Onde o gráfico é côncavo para cima;
Onde o gráfico é côncavo para baixo;
A inclinação de qualquer tangente de inflexão;
As assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem
Passo 1
Vamos começar olharando as assíntotas:
Vamos começar pela assíntota horizontal.
Assíntota horizontal: fazer o limite no infinito. Ou seja,
Vamos calcular esses limites. Como temos um polinômio, temos que fazer aquele passo a passo para fração de polinômios, só que para aquela expressão só. Vamos ver como vai ficar isso.
Passo 2
Nossa expressão é
Colocando em evidência dentro do parênteses, vamos ter:
Passo 3
Agora vamos aos limites. Primeiro:
Vai ficar:
Então não temos assíntota horizontal desse lado.
Passo 4
O outro vai ser:
Vai ficar:
Então não temos assíntota horizontal desse lado.
Passo 5
Agora vamos para as assíntotas oblíquas. Só vamos fazer essas assíntotas se não existirem as horizontais. Elas substituem as horizontais por cada lado.
Se as assíntotas horizontais não existirem, talvez existir a oblíqua. Para isso, devemos achar os coeficientes e de que é a equação da assíntota obliqua.
Para isso, devemos fazer
Se esse valor existir, aí fazemos
Mesma coisa para o
Se esse valor existir, aí fazemos
Passo 6
Para encontrarmos a derivada vamos usar a regra do produto:
Vamos colocar o em evidência para facilitar as contas:
Colocando o em evidência em cada parênteses, vamos ter:
Vamos achar o limite para ver se existe
Opa, não apareceu desse lado. Temos que olhar do outro agora
Também não tem, então essa função não tem assíntotas oblíquas.
Passo 7
Vamos para as verticais. Para isso, temos que procurar algum valor de que faça o limite ir para . Normalmente procuramos quando o denominador da fração for . Mas no caso dos polinômios isso não vai existir.
Então quando estivermos trabalhando com polinômios não vamos ter assíntotas verticais.
Passo 8
Vamos aos extremos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso temos que analisar o sinal de .
Aquele termo vai ser sempre positivo, então basta olharmos o sinal de
O quadro de sinais fica:
Logo:
A função é crescente se e decrescente se , então:
Passo 9
Agora vamos ver os extremos. Pelo teste da primeira derivada, teremos máximo quando a função vai de crescente para decrescente, e mínimo quando a função for de decrescente para crescente.
Passo 10
Vamos agora para a concavidade e os pontos de inflexão. A função é côncava para cima se e côncava para baixo se .
O ponto vai ser de inflexão quando muda a concavidade.
A nossa primeira derivada é:
Temos, usando a regra do produto de novo:
Para aquele primeiro produto, aplicamos novamente a regra do produto:
Vamos colocar o em evidência.
Vamos colocar o em evidência na expressão denro do parênterese:
Temos que:
Observando o gráfico daquela expressão de grau dentro do parênteses:
Vamos ter a expressão positiva antes e depois das raízes e negativo entre as raízes.
Vamos achar as raízes:
Temos que, as raízes ficam:
Analisando o quadro de sinais:
Assim
Então:
Isso também nos diz que
são ponto de inflexão
Passo 11
Para terminar vamos ao esboço. Para isso, precisamos juntar todas as informações.
- Não possui assíntotas;
- , , pontos de inflexão
- Não possui assíntotas;
- , , pontos de inflexão
Vamos para o gráfico, ele vai ficar assim:
Resposta
Vamos para o gráfico, ele vai ficar assim:
