Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.7 - Ex. 32
Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de , determinando o seguinte:
Os extremos relativos de ;
Os pontos de inflexão do gráfico de ;
Os intervalos em que é crescente
Os intervalos em que é decrescente;
Onde o gráfico é côncavo para cima;
Onde o gráfico é côncavo para baixo;
A inclinação de qualquer tangente de inflexão;
As assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem
Passo 1
Vamos começar olharando as assíntotas:
Vamos começar pela assíntota horizontal.
Assíntota horizontal: fazer o limite no infinito. Ou seja,
Como a nossa função tem apenas consseno, já podemos direto dizer que não vai ter limite.
Isso porque o cosseno é uma função que fica oscilando entre e , mas não tende a nenhum valor.
Então ele não tem assíntota horizontal.
Passo 2
Agora vamos para as assíntotas oblíquas. Só vamos fazer essas assíntotas se não existirem as horizontais. Elas substituem as horizontais por cada lado.
Se as assíntotas horizontais não existirem, talvez existir a oblíqua. Para isso, devemos achar os coeficientes e de que é a equação da assíntota obliqua.
Para isso, devemos fazer
Se esse valor existir, aí fazemos
Mesma coisa para o
Se esse valor existir, aí fazemos
Aqui a derivada vai ficar
E chegamos em uma função seno, que tem a mesma parada que o cosseno que falamos no passo anterior.
Então esses limites não vão existir e não teremos assíntotas olíquas.
Passo 3
Vamos para as verticais. Para isso, temos que procurar algum valor de que faça o limite ir para . Normalmente procuramos quando o denominador da fração for . Mas no caso de seno ou cosse isso não vai existir.
Passo 4
Vamos aos extremos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso temos que analisar o sinal de .
Lembrando que ele limitou o entre e .
O cosseno vai ser positivo entre e , além, e negativo entre e e qualquer soma de . Já que são periódicos.
Então
Mas a função que temos é , então vamos fazer:
Encontrando
Podemos dividir por os intervalos de
Isso com inteiro. O nosso intervalo fica limitado entre e .
Se pegarmos temos
Que vai só de a . Falta o resto:
Vamos pegar
Arrumando o intervalo
Vamos pegar
Temos que limitar no , o primeiro intervalo termina em, vai dar menor que o , então só pegamos o segundo. E ajustando inicio do segundo para
Arrumando o intervalo
Vamos pegar
Arrumando o intervalo
Lembrando que vai até , aquele último valor é maior, então temos que parar em
Passo 5
Reunindo todos os intervalos:
Juntando as partes positivas e negativas
Vamos teminar com
Quando estivermos trabalhando com mais de um intervalo, basta colocar aquele símbolo de união para deixar tudo bonitinho.
A função é crescente se e decrescente se , então:
Passo 6
Agora vamos ver os extremos. Pelo teste da primeira derivada, teremos máximo quando a função vai de crescente para decrescente, e mínimo quando a função for de decrescente para crescente.
Pelos intervalos do passo anterior, vamos ter
Passo 7
Vamos agora para a concavidade e os pontos de inflexão. A função é côncava para cima se e côncava para baixo se .
O ponto vai ser de inflexão quando muda a concavidade.
Lembrando que ele limitou o entre e .
O seno vai ser positivo entre e , e negativo entre e e qualquer soma de . Já que são periódicos.
Então
Mas a função que temos é , então vamos fazer:
Encontrando
Podemos dividir por os intervalos de
Isso com inteiro. O nosso intervalo fica limitado entre e .
Se pegarmos temos
Que vai só de a . Falta algumas partes, vamos pegar
Ficando com:
Como o intervalo só vai até , vamos ter:
Falta o outro lado
Vamos pegar
Arrumando o intervalo
Vamos pegar
Arrumando o intervalo
Como o intervalo começa em , vamos pegar:
Passo 8
Reunindo todos os intervalos:
untando as partes positivas e negativas
Agora vamos multiplica a expressão do seno por para chegar na nossa segunda derivada
Vamos ter:
Então:
Isso nos diz que em:
muda de concavidade, então este são um ponto de inflexão.
Passo 9
Para terminar vamos ao esboço. Para isso, precisamos juntar todas as informações.
- Não possui assíntotas;
- , , , ,
- Tangente de inflexão: , , ,
- Não possui assíntotas;
- , , , ,
- Tangente de inflexão: , , ,
Ele pede també a tangente de inflexão que nada mais é que a derivada no ponto de inflexão
Vamos para o gráfico, ele vai ficar assim:
Resposta
Vamos para o gráfico, ele vai ficar assim:
