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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 98

Esboce o gráfico da função racional:

y = (x^3 + x - 2)/(x - x^2)

Passo 1

Podemos resolver derivando direto, ou simplificando primeiro. Vamos simplificar. Se dividirmos x^(3 ) + x - 2 por x - x^2 (divisão de polinômio hein...) encontramos quociente - x - 1 e resto 2 x - 2 . Então, podemos reescrever nossa função como:

y = - x - 1 + (2 x - 2)/(x - x^2) = - x - 1 + (2 (x - 1))/(- x (- 1 + x)) = - x - 1 - (2)/(x)

Primeiramente, vemos que o domínio da função é R - { 0,1 } (não pode zerar o denominador)

Vamos continuar...

Passo 2

Agora a gente encontra a derivada primeira e segunda...

y^' = - 1 + (2)/(x^2)

y^(' ') = - (4)/(x^3)

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y^' = 0 -> (2)/(x^2) = 1 -> x = +- sqrt(2)

Pelo teste da derivada segunda: y^(' ') (sqrt(2)) = - 2 sqrt(2) < 0 e y^(' ') (- sqrt(2)) = 2 sqrt(2) > 0

Então, temos um ponto máximo em ( sqrt(2) , - sqrt(2) - 1 - (2)/(sqrt(2)) ) e um ponto mínimo ( - sqrt(2) , sqrt(2) - 1 - (2)/(sqrt(2)) ) .

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

y^' = - 1 + (2)/(x^2)

Sabemos que a função resulta em zero quando x = +- sqrt(2) e não está definida em x = 0 .

Vejamos então...

Então, a função é crescente em ( - sqrt(2) , 0 ) e em (0 , sqrt(2)) e decrescente em ( - oo , - sqrt(2) ) e ( sqrt(2) , oo ) .

Vejamos a concavidade...

Nossa derivada segunda deu y^(' ') = - (4)/(x^3) .

Vemos então que y ' ' será positiva se x^3 < 0 -> x < 0

Então, a concavidade é para baixo em (0 , oo) e para cima em ( - oo , 0 ) .

A função muda a concavidade em x = 0 , porém não temos um ponto no local já que ele não pertence ao domínio.

Vamos ter uma assíntota vertical em x =

Passo 4

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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