Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.7 - Ex. 38
Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de , determinando o seguinte:
Os extremos relativos de ;
Os pontos de inflexão do gráfico de ;
Os intervalos em que é crescente
Os intervalos em que é decrescente;
Onde o gráfico é côncavo para cima;
Onde o gráfico é côncavo para baixo;
A inclinação de qualquer tangente de inflexão;
As assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem
Passo 1
A primeira coisa que temos que fazer é abrir aquele módulo.
Lembrando que
Nesse caso, temos um seno ali dentro do módulo.
Então quando o seno for positivo a função será , quando for negativo a função será .
Mas quando o seno é positivo? Ele é positivo entre e , e em todos os intervalos que somarmos a esses extremos. Como nosso intervalo vai de até , teremos:
E ele vai ser negativo entre e , e em todos os intervalos que somarmos a esses extremos. Como nosso intervalo vai de até , teremos:
Assim, a nossa vai ser
Passo 2
Agora que temos a função mais clara vamos para as assíntotas.
Vamos começar pela assíntota horizontal.
Assíntota horizontal: fazer o limite no infinito. Ou seja,
Como a nossa função tem apenas consseno, já podemos direto dizer que não vai ter limite.
Isso porque o cosseno é uma função que fica oscilando entre e , mas não tende a nenhum valor.
Então ele não tem assíntota horizontal.
Passo 3
Agora vamos para as assíntotas oblíquas. Só vamos fazer essas assíntotas se não existirem as horizontais. Elas substituem as horizontais por cada lado.
Se as assíntotas horizontais não existirem, talvez existir a oblíqua. Para isso, devemos achar os coeficientes e de que é a equação da assíntota obliqua.
Para isso, devemos fazer
Se esse valor existir, aí fazemos
Mesma coisa para o
Se esse valor existir, aí fazemos
Antes de derivarmos precisamos olhar a nossa
Repara que temos duas funções contínuas, mas nas trocas ela vai ser contínua?
Então ela é contínua em
Passo 4
Vamos verificar nos outros pontos.
Então é contínua em
Então também é contínua em
Passo 5
Opa, a nossa vai ser contínua. Como as duas funções são seno, então a nossa derivada vai ser direitinho pelos intervalos
Aqui a derivada vai ficar
E chegamos em uma função cosseno, que tem a mesma parada que o cosseno que falamos no passo anterior.
Então esses limites não vão existir e não teremos assíntotas olíquas.
Passo 6
Vamos para as verticais. Para isso, temos que procurar algum valor de que faça o limite ir para . Normalmente procuramos quando o denominador da fração for . Mas no caso de seno ou cosse isso não vai existir.
Passo 7
Vamos aos extremos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso temos que analisar o sinal de .
Vamos ao primeiro intervalo
O cosseno é positivo nas seguintes partes
E negativo no resto
Ficando:
No segundo intervalo:
O cosseno é negativo nas seguintes partes
E positivo no resto
Como temos o na frente, troca os sinais.
Vamos juntar todos os intervalos
Então vamos ter
A função é crescente se e decrescente se , então:
Passo 8
Agora vamos ver os extremos. Pelo teste da primeira derivada, teremos máximo quando a função vai de crescente para decrescente, e mínimo quando a função for de decrescente para crescente.
Os extremos são:
Mínimos:
Máximos:
Passo 9
Vamos agora para a concavidade e os pontos de inflexão. A função é côncava para cima se e côncava para baixo se .
O ponto vai ser de inflexão quando muda a concavidade.
Vamos ao primeiro intervalo
O seno nesse intervalo vai ser sempre positivo, com aquele fica negativo
No segundo intervalo:
Também temos o seno negativo. Então a função sempre será negativa.
Vamos teminar com
A função é côncava para cima se e para baixo se , então:
Como a função não muda a concavidade não temos ponto de inflexão.
Passo 10
Para terminar vamos ao esboço. Para isso, precisamos juntar todas as informações.
- Não possui assíntotas;
- Mínimos: , ,
- Máximos: , , ,
- Não possui assíntotas;
- Mínimos: , ,
- Máximos: , , ,
Vamos para o gráfico, ele vai ficar assim:
Resposta
Vamos para o gráfico, ele vai ficar assim:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)