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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 38

Represente graficamente as equações dos Exercícios 9-58 seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

38-

y = 2 - x 2 3 2

Passo 1

Fazendo a derivada primeira nós temos:

y ' = 3 2 2 - x 2 1 2 × - 2 x = - 3 x × 2 - x 2

Agora fazendo a derivada segunda temos:

y ' ' = - 3 x ' 2 - x 2 + 3 x 2 - x 2 '

Fazendo a regra do produto:

y ' ' = - 3 2 - x 2 + 3 x ×   - x 2 - x 2

Fazendo MMC:

y ' ' = - 3 2 - x 2 + 3 x 2 2 - x 2 = 3 [ - 2 + x 2 + x 2 ] 2 - x 2 = 3 [ 2 x 2 - 2 ] 2 - x 2

y ' ' = 6 ( x + 1 ) ( x - 1 ) 2 - x 2

Passo 2

Achando os valores críticos de x temos:

- 3 x × 2 - x 2 = 0

Ou 3 x = 0 ou 2 - x 2 = 0

O que nos dá:

x = 0 ;       x = ± 2

E assim como no exercício anterior o valor que está dentro da raiz não pode ser negativo, pois ai teríamos crescimentos imaginários, então o módulo de x tem que ser menor que 2 .

Passo 3

Agora vamos ver se os pontos que achamos são máximos ou mínimos locais e se temos pontos de inflexão.

Para x = 0

y ( 0 ) ' ' = 6 ( 0 + 1 ) ( 0 - 1 ) 2 - 0 2 = - 6 2 = n e g a t i v o

Logo x=0 é mínimo local.

Para x = 2

y ( 2 ) ' ' = 6 ( 1.4142 + 1 ) ( 1.4142 - 1 ) 2 - 2 2   = + ∞ = p o s i t i v o

Para x = - 2

y ( 2 ) ' ' = 6 ( - 1.4142 + 1 ) ( - 1.4142 - 1 ) 2 - - 2 2   = 6 ×   - 0.4142 × - 2.4142 0 = + ∞ = p o s i t i v o

Logo os extremos da função são mínimos locais, agora analisando se tem pontos de inflexão

6 ( x + 1 ) ( x - 1 ) 2 - x 2 = 0

Como o numerador tem quer ser zero, então temos dois pontos de inflexão

x = ± 1  

Passo 4

Como nossa função já é limitada não precisamos fazer os limites da função, então vamos fazer a organização dos intervalos.

Pontos de teste: -1.25,-0.5,0.5 e +1.25

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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