Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 37
(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
Passo 1
Item a:
Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa. Portanto, para avaliar os intervalos onde é crescente ou decrescente, vamos obter a derivada e analisar o seu sinal:
Para :
ou
Para :
Portanto, é crescente para valores de nos intervalos e e decrescente no intervalo .
Passo 2
Item b:
Os pontos onde a derivada é zero, pontos críticos são:
ou
Como cresce até e decresce a partir dele, é ponto de máximo local.
Como decresce até e cresce a partir dele, é ponto de mínimo local.
Passo 3
Item c:
A concavidade de uma função é indicada pelo sinal da derivada segunda. Quando a derivada segunda é positiva, a função possui concavidade voltada para cima e quando a derivada segunda é negativa, a função possui concavidade voltada para baixo. Então devemos obter a derivada segunda e estudar o seu sinal:
Para
Para
Logo, possui concavidade para cima para valores de no intervalo e concavidade para baixo para valores de no intervalo . E o ponto de inflexão é .
Passo 4
Item d:
Com as informações obtidas, temos o gráfico:
Resposta
(a) é crescente para valores de nos intervalos e e decrescente no intervalo .
(b) é ponto de máximo local e é ponto de mínimo local.
(c) possui concavidade para cima para valores de no intervalo e concavidade para baixo para valores de no intervalo . E o ponto de inflexão é .
(d)
