Encontre a equação da assíntota obliqua. Não esboce a curva

y = (2 * x^3 - 5 * x^2 + 3 * x) / (x^2 - x - 2)

Passo 1

Bom pessoal, nessa questão temos a seguinte função:

y = 2 x 3 - 5 x 2 + 3 x x 2 - x - 2

E queremos encontrar as assíntotas oblíquas.

As assíntotas oblíquas possuem forma y = m x + b e podem ser encontradas através da divisão polinomial.

Dessa forma, basta dividirmos o numerador pelo denominador da nossa função.

Bom pessoal, as assíntotas oblíquas possuem forma y = m x + b e podem ser encontradas através a divisão polinomial.

Passo 2

Armando a nossa divisão teremos:

Pegamos então o primeiro termo do dividendo e dividimos pelo primeiro termo do divisor:

2 x 3 x 2 = 2 x

Agora multiplicamos esse resultado pelo divisor e trazemos ele com sinal trocado:

2 x x 2 = 2 x 3

2 x - x = - 2 x 2

2 x - 2 = - 4 x

Realizamos então a soma desse resultado com o dividendo:

Repetimos então o processo, agora usando o - 3 x 2 que é o primeiro termo do dividendo:

E paramos a divisão aí, pois 4 x - 6 possui um grau menor que o divisor. Dessa forma, nossa divisão resultou num quociente de 2 x - 3 e num resto de 4 x - 6 .

Passo 3

Nossa função era:

y = 2 x 3 - 5 x 2 + 3 x x 2 - x - 2

E podemos reescrevê-la como:

y = 2 x - 3 + 4 x - 6 x 2 - x - 2

Perceba que quando x tende a infinito essa função irá tender a 2 x - 3 :

lim x → ∞ ⁡ 2 x - 3 + 4 x - 6 x 2 - x - 2

lim x → ∞ ⁡ 2 x - 3 + x x 2 4 - 6 x 1 - 1 x - 2 x 2  

E 1 x com x tendendo a infinito vale 0 , logo:

lim x → ∞ ⁡ 2 x - 3 + 1 x 4 1

lim x → ∞ ⁡ 2 x - 3

Dessa forma, quando x tende a infinito nossa função tende a essa reta.

A assíntota obliqua vale então:

y = 2 x - 3

Resposta

y = 2 x - 3

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