Encontre a equação da assíntota obliqua. Não esboce a curva

y = (4*x^3 - 10*x^2 - 11*x + 1) / (x^2 - 3*x)

Passo 1

Bom pessoal, nessa questão temos a seguinte função:

y = 4 x 3 - 10 x 2 - 11 x + 1 x 2 - 3 x

E queremos encontrar as assíntotas oblíquas.

As assíntotas oblíquas possuem forma y = m x + b e podem ser encontradas através da divisão polinomial.

Dessa forma, basta dividirmos o numerador pelo denominador da nossa função.

Passo 2

Armando a nossa divisão temos:

Pegamos o primeiro termo do dividendo que é 4 x 3 e dividimos pelo primeiro termo do divisor que é x 2 :

4 x 3 x 2 = 4 x

Esse valor vai lá pro quociente:

Agora multiplicamos o 4 x pelo divisor e trazemos ele com sinal trocado:

4 x x 2 = 4 x 3

4 x - 3 x = - 12 x 2

Agora somamos o dividendo por esses termos que trouxemos e obtemos então:

Agora repetimos a operação, tomando o termo 2 x 2 e dividindo por x 2 :

Agora basta multiplicar o 2 pelo divisor e trazer ele com sinal trocado:

Não temos mais como continuar a divisão. Dessa forma obtivemos um quociente igual a 4 x + 2 e um resto igual a - 5 x + 1 .

Passo 3

Nossa função é:

y = 4 x 3 - 10 x 2 - 11 x + 1 x 2 - 3 x

Logo, podemos reescrever a equação da seguinte forma:

y = 4 x + 2 + - 5 x + 1 x 2 - 3 x

Perceba que quando x tende a infinito, a função tende a 4 x + 2 :

lim x → ∞ ⁡ 4 x + 2 + - 5 x + 1 x 2 - 3 x

lim x → ∞ ⁡ 4 x + 2 + x x 2 - 5 + 1 x 1 - 3 x  

E 1 x com x tendendo a infinito vale 0 , logo:

lim x → ��� ⁡ 4 x + 2 + 1 x - 5 1

lim x → ∞ ⁡ 4 x + 2

Ou seja, quando x vai para infinito, a função se comporta como essa reta, logo essa é a nossa assíntota oblíqua.

A assíntota obliqua vale então:

y = 4 x + 2

Resposta

y = 4 x + 2

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