Encontre a equação da assíntota obliqua. Não esboce a curva

y = (-6 * x^4 + 2 * x^3 + 3) / (2 * x^3 - x)

Passo 1

Oi galerinha, nessa questão temos a seguinte função:

y = - 6 x 4 + 2 x 3 + 3 2 x 3 - x

E queremos encontrar as assíntotas oblíquas.

As assíntotas oblíquas possuem forma y = m x + b e podem ser encontradas através da divisão polinomial.

Dessa forma, basta dividirmos o numerador pelo denominador da nossa função.

Passo 2

Armando a nossa divisão temos:

Pegamos o primeiro termo do dividendo que é - 6 x 4 e dividimos pelo primeiro termo do divisor que é 2 x 3 :

- 6 x 4 2 x 3 = - 3 x

Esse valor vai lá pro quociente:

Agora multiplicamos o - 3 x pelo divisor e trazemos ele com sinal trocado:

- 3 x 2 x 3 = - 6 x 4

- 3 x ( - x ) = 3 x 2

Agora somamos o dividendo por esses termos que trouxemos e obtemos então:

Repetimos então a operação, agora usando o 2 x 3 que é o primeiro termo do dividendo:

E agora nós paramos a conta, pois o dividendo possui um grau menor que o divisor. Dessa forma, encontramos o quociente - 3 x + 1 e o resto - 3 x 2 + x + 3

Passo 3

Nossa função é:

y = - 6 x 4 + 2 x 3 + 3 2 x 3 - x

Podemos reescrevê-la como:

y = - 3 x + 1 + - 3 x 2 + x + 3 2 x 3 - x

Perceba que quando x tende a infinito, essa função tende a - 3 x + 1 :

lim x → ∞ ⁡ - 3 x + 1 + - 3 x 2 + x + 3 2 x 3 - x

lim x → ∞ ⁡ - 3 x + 1 + x 2 x 3 - 3 + 1 x + 3 x 2 2 - 1 x 2  

E 1 x com x tendendo a infinito vale 0 , logo:

lim x → ∞ ⁡ - 3 x + 1 + 1 x - 3 2

lim x → ∞ ⁡ - 3 x + 1

Ou seja, quando x vai para infinito, a função se comporta como essa reta, logo essa é a nossa assíntota oblíqua.

A assíntota obliqua vale então:

y = - 3 x + 1

Resposta

y = - 3 x + 1

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