Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 13
Use os guias desta seção para traçar a curva.
Passo 1
Fala meus queridos.
Aqui nós temos a função
E aqui vamos seguir o seguinte roteiro para esboçar o gráfico dela.
A. Encontrar o domínio em que a função é definida.
B. Encontrar os interceptos. Que são os pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
E o pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
C. Verificar se há simetria par, isso é:
Para isso, basta substituir por e verificar se a expressão se mantém a mesma.
D. Procurar por assíntotas horizontais e verticais.
Uma assíntota horizontal é um valor real para o qual a função tende quando tende para infinito:
Já uma assíntota vertical é um valor de no qual a função possui uma descontinuidade e tende para infinito.
E. Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, basta derivar a função e nos intervalos em que a derivada for positiva a função cresce
E nos intervalos em que a derivada for negativa a função decresce
F. Encontrar os pontos de máximo e mínimo local.
Esses pontos ocorrem quando a derivada vale zero e troca de sinal ou quando a derivada possui uma descontinuidade e troca de sinal.
Caso a derivada fosse negativa e depois do ponto ela é positiva, então a função possui um ponto de mínimo local. Se a derivada era positiva e depois do ponto ela é negativa, então a função possui um ponto de máximo local.
G. Encontrar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
A concavidade é para cima se a derivada segunda for positiva
E a concavidade é para baixo se a derivada segunda for negativa
Por fim, um ponto de inflexão é um ponto onde a derivada segunda vale zero e troca de sinal.
H. Esboçar a função juntando as informações obtidas.
Passo 2
Nossa função é
Seguindo o roteiro:
O domínio da função será os reais menos os pontos em que o denominador é igual à zero.
Logo:
Descobrir as interceptações da curva nos eixos e .
Interceptos :
Intercepto :
Logo, a função intercepta o eixo em e intercepta o eixo em . Portanto, a função cruza a origem .
Checando simetria:
Não simetria par.
Portanto, é uma função ímpar.
Para encontrar assíntotas, temos que checar a existência de limites.
Assíntotas Horizontais:
Vamos lá:
Aplicando L’hospital (derivando em cima e embaixo) temos:
E para infinito negativo temos:
Aplicando L’hospital temos:
Logo, em temos assíntotas horizontais.
Assíntotas Verticais (checar nos pontos que o denominador tende a zero):
Logo, em temos assíntotas verticais.
Passo 3
Intervalos crescentes e decrescentes.
Temos que analisar a primeira derivada da função, onde:
Vamos lá:
Usando a regra do quociente temos:
Vamos analisar o sinal dessa derivada.
é um fator que sempre é positivo, pois é positivo para qualquer .
também é sempre positivo, pois está elevado ao quadrado.
Como esses fatores estão multiplicados por , a primeira derivada será sempre negativa.
Dessa forma, a função é decrescente para todo o domínio.
Pontos de máximos e mínimos.
Para encontrar estes pontos, temos que conhecer as raízes de e avaliar se há troca de sinal de Ou então avaliar o sinal da segunda derivada nas raízes de
Entretanto, como não há troca de sinal para , então não há pontos de máximos e mínimos.
Passo 4
Para analisar a concavidade da função e achar seus intervalos, devemos usar a segunda derivada da função.
Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade, isto é quando for igual à zero.
A primeira derivada é:
Derivando (usando a regra do quociente) temos:
Colocando em evidência.
Dessa forma, podemos simplificar:
Multiplicando o fator com o fator , temos:
Analisando o sinal dessa derivada.
Temos que é sempre positiva.
Temos que é positiva quando:
Temos que é positivo quando:
Temos que é positivo quando:
Dessa forma, podemos fazer o seguinte estudo de sinais:
Analisando os intervalos:
Teoricamente, há mudança de concavidade em e . No entanto a função não está definida para e , portanto, só é ponto de inflexão:
Logo, os intervalos são:
Passo 5
Fazendo o esboço temos:
Resposta
