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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 28

Efetue a antidiferenciação:

int r^2 sec^2 r^3 d r

Passo 1

Queremos calcular a integral:

int r^2 sec^2 r^3 d r

Vamos chamar essa integral de I daqui pra frente, beleza? Bora lá, qual é o primeiro passo? Botar o que é constante pra fora, mas como não tem nada, vamos direto pra substituição marota. Pra facilitar nossa vida e não termos que ficar lidando com regra da cadeia, vamos substituir:

u = r^3

Derivando,

d u = 3 r^2 d r

d r = (d u)/(3 r^2)

Substituindo isso na integral:

I = int r^2 sec^2 ( u ) (d u)/(3 r^2)

Cortando o r^2 e botando o (1)/(3) pra fora:

I = (1)/(3) int sec^2 (u) d u

Passo 2

Isso aí a gente sabe integrar tranquilamente! Da nossa tabelinha, sabemos que a integral de s e c^2 x é t g x , e então aqui não vai ser diferente só porque tá com u em vez de x :

I = (1)/(3) (t g (u)) + C

Voltando pra variável original:

I = (1)/(3) t g (r^3) + C

Fechou!

Resposta

I = (1)/(3) t g (r^3) + C

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