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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 96

Ache o centro de massa de uma barra com 4   m , se a densidade linear num ponto a x   m do extremo esquerdo for 9 + x 2   k g / m .

Passo 1

A questão fornece a densidade linear ρ = 9 + x 2 de uma barra cujo comprimento é 4 m e pede para acharmos o seu centro de massa.

O centro de massa é dado por

x - = 1 M ∫ x ρ x   d x ,

onde M é a massa, dada por

M = ∫ ρ x   d x

Desta forma, precisamos primeiro achar a massa para depois encontrar o centro de massa!

Passo 2

Para acharmos a massa, temos que resolver a integral

M = ∫ 0 4 9 + x 2   d x

Para resolver essa integral vamos fazer a substituição trigonométrica x = 3 tan ⁡ t . Assim,

9 + x 2 = 9 + 9 tan 2 ⁡ t = 3 1 + tan 2 ⁡ t = 3 sec 2 ⁡ t = 3 sec ⁡ t

Além disso,

d x = 3 sec 2 ⁡ t   d t

Portanto,

M = ∫ 0 arctan ⁡ 4 3 3 sec ⁡ t ⋅ 3 sec 2 ⁡ t   d t = 9 ∫ 0 arctan ⁡ 4 3 sec 3 ⁡ t   d t

A primitiva da secante ao cubo é dada por

∫ sec 3 ⁡ t   d t = 1 2 sec ⁡ t tan ⁡ t + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t

Assim,

M = 9 2 sec ⁡ t tan ⁡ t + ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t 0 arctan ⁡ 4 3

Logo,

M = 9 2 sec ⁡ arctan ⁡ 4 3 tan ⁡ arctan ⁡ 4 3 + ln ⁡ sec ⁡ arctan ⁡ 4 3 + tan ⁡ arctan ⁡ 4 3 - 0

O ( - 0 ) no final apareceu pois tan ⁡ 0 = 0 e ln ⁡ sec ⁡ 0 + tan ⁡ 0 = ln ⁡ 1 = 0 . Sabemos que tan ⁡ arctan ⁡ 4 3 = 4 3 . Agora para calcular sec ⁡ arctan ⁡ 4 3 segue o truque:

y = arctan ⁡ 4 3 ⇒ tan ⁡ y = 4 3

Queremos calcular sec ⁡ arctan ⁡ 4 3 = sec ⁡ y . Então,

1 + tan 2 ⁡ y = sec 2 ⁡ y ⇒ sec 2 ⁡ y = 1 + 16 9 = 25 9 ⇒ sec ⁡ y = 5 3

Desta forma, calculamos sec ⁡ arctan ⁡ 4 3 = sec ⁡ y = 5 3 .

Assim,

M = 9 2 5 3 ⋅ 4 3 + ln ⁡ 5 3 + 4 3 = 9 2 20 9 + ln ⁡ 3 = 10 + 9 2 ln ⁡ 3

Passo 3

Agora que temos a massa, podemos partir para o centro de massa:

M x - = ∫ x ρ x   d x

Assim,

M x - = ∫ 0 4 x 9 + x 2   d x

Chamando u = 9 + x 2 , temos que d u = 2 x   d x . Assim,

M x - = 1 2 ∫ 9 25 u   d u

Note que os limites de integração foram alterados: x = 0 ⇒ u = 9 e x = 4 ⇒ u = 9 + 4 2 = 9 + 16 = 25 .

Logo,

M x - = 1 2 ∫ 9 25 u 1 / 2   d u = 1 2 ⋅ 2 3 u 3 2 9 25 = 1 3 u 3 9 25

Portanto,

M x - = 1 3 5 3 - 3 3 = 1 3 125 - 27 = 98 3

Assim, o centro de massa será

10 + 9 2 ln ⁡ 3 x - = 98 3 ⇒ x - = 98 3 10 + 9 2 ln ⁡ 3

Resposta

98 3 10 + 9 2 ln ⁡ 3

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