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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 76

Calcule a integral definida.

int_1^2 (ln x)^2 d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Para essa integral vamos precisar integrar por partes:

int u d v = u v - int v d u

Chamando u = (ln x)^2 e d v = d x , temos que

d u = (2 ln x)/(x) d u e v = x

Assim,

I = int_1^2 (ln x)^2 d x = (x (ln x)^2)_1^2 - int_1^2 (2 ln x)/(x) * x d x

Portanto,

I = 2 (ln 2)^2 - (ln 1)^2 - 2 int_1^2 ln x d x

Assim,

I = 2 (ln 2)^2 - 2 I_1 ,

onde

I_1 = int_1^2 ln x d x

Passo 2

Para calcular I_1 usaremos parte novamente, com u = ln x e d v = d x :

d u = (1)/(x) d x e v = x

Assim,

I_1 = int_1^2 ln x d x = (x ln x)_1^2 - int_1^2 x * (1)/(x) d x

Logo,

I_1 = 2 ln 2 - ln 1 - int_1^2 d x = 2 ln 2 - ( 2 - 1 )

Portanto,

I_1 = 2 ln 2 - 1

Passo 3

Agora podemos calcular I :

I = 2 (ln 2)^2 - 2 I_1 = 2 ln^2 2 - 2 ( 2 ln 2 - 1 )

Assim,

I = 2 ln^2 2 - 4 ln 2 + 2

Resposta

2 ln^2 2 - 4 ln 2 + 2

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