Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.

y = tan(x), y = 2 * sen(x), -pi/3 ≤ x ≤ pi/3

Passo 1

E aí, galerinha!

Bom galera, nesse exercício iremos calcular a área da região delimitada pelas equações

y = tan ⁡ x y = 2 s e n   x ,     - π 3 ≤ x ≤ π 3

Pra isso, utilizamos a integração, iremos esboçar a região e desenhar um retângulo aproximadamente. Para isso, iremos utilizar a seguinte definição de área

Veja só!

Passo 2

Nessa questão não precisamos ver o ponto de interseção das curvas pois o intervalo de integração já foi dado e é - π / 3 ≤ x ≤ π / 3 .

Dessa forma, podemos esboçar a curva

Tranquilo?

Passo 3

Utilizando a definição do passo 1 , temos

A = ∫ - π / 3 π / 3 2 s e n   x - tan ⁡ x d x  

A = ∫ - π 3 π 3 2 s e n   x - tan ⁡ x d x  

Calculando a integral e aplicando os limites de integração...

A = - 2 cos ⁡ x - ln ⁡ sec ⁡ x - π 3 π 3

A = 2 - 2 ln ⁡ 2

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

A = 2 - 2 ln ⁡ 2

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