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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.3 - Ex. 10

Ache o centro, os vértices, os focos e as equações das assíntotas da hipérbole dada. Faça um esboço da curva e de suas assíntotas e mostre os focos.

4 x 2 - y 2 - 8 x - 12 = 0

Passo 1

Primeiramente vamos passar a equação para a forma reduzida ao completarmos o quadrado de x .

4 x 2 - 8 x + 4 - y 2 - 12 = 0 + 4

4 ( x 2 - 2 x + 1 ) - y 2 - 12 = 0 + 4

4 x - 1 2 - y 2 = 16

x - 1 2 4 - y 2 16 = 1

Desta forma temos que o centro é 1 ,   0 . Além disso a 2 = 4   e   b 2 = 1 6 que nos dão os valores dos eixos a = 2   e   b = 4 .

Passo 2

Agora para achar os vértices tomamos o centro e somamos ou subtraímos a da coordenada da qual o eixo principal é paralelo. Neste caso temos que fazer isso em x .

V 1 = 1 + 2 ,   0

V 1 = 3 ,   0

V 2 = 1 - 2 ,   0

V 2 = - 1 ,   0

Passo 3

Para os focos o mesmo procedimento dos vértices pode ser aplicado, mas em relação a c . Assim basta encontrar c   pela Relação Pitagórica.

a 2 + b 2 = c 2

4 + 1 6 = c 2

2 0 = c

2 5 = c

F 1 = 1 + 2 5 ,   0

F 2 = 1 - 2 5 ,   0

Passo 4

As assíntotas são dadas como f x : ( y - h ) = b a ( x - k ) e g x :   y - h = - b a ( x - k )

f x : ( y + 0 ) = 4 2 ( x - 1 )

f x : y =   2 x - 2

g x :   y + 0 = - 4 2 ( x - 1 )

g x : y =   - 2 x + 2

Resposta

C = 1 ,   0

V 1 = 3 ,   0

V 2 = - 1 ,   0

F 1 = 1 + 2 5 ,   0

F 2 = 1 - 2 5 ,   0

f x : y =   2 x - 2

g x : y =   - 2 x + 2

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Ache a equação da hipérbole satisfazendo as condições dadas e faça um esboço do gráfico.Um foco em 26 ,0 e como assíntotas as retas 12 y = ±5 x .
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Ache a equação da hipérbole satisfazendo as condições dadas e faça um esboço do gráfico.Um foco em - 3 - 3 13 ,1 , as assíntotas interceptam-se em - 3 ,1 e uma assíntota passa pelo ponto 1 ,7 .