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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.3 - Ex. 25

Ache a equação da hipérbole satisfazendo as condições dadas e faça um esboço do gráfico.

Focos em - 1 ,   4   e 7 ,   4 e comprimento do eixo transverso 8 3 .

Passo 1

Primeiramente vamos achar o centro da hipérbole, para isso basta entendermos que os dois vértices estão alinhados com o centro, que por sua vez está no meio dos dois pontos e é equidistante aos vértices. Assim podemos calcular o ponto C (centro) como o ponto médio entre o segmento dos dois vértices.

x c = - 1 + 7 2 ,     y c = 4 + 4 2

x c = 6 2 ,     y c = 8 2

x c = 3 ,     y c = 4

C   ( 3 ,   4 )

Passo 2

Agora vamos procurar c para isso vamos calcular a distância entre o centro e um dos focos.

c 2 = 3 - - 1 2 + 4 - 4 2

c 2 = 4 2 + 0 2

c = 4

Passo 3

O eixo transverso se refere a   a . Assim temos

2 a = 8 3

a = 4 3

Passo 4

Agora vamos aplica a Relação Pitagórica para encontrar b .

c 2 = a 2 + b 2

4 2 = 4 3 2 + b 2

16 = 16 9 + b 2

128 9 = b 2

b = 128 3

Passo 5

Agora vamos organizar a fórmula desta hipérbole, como o eixo principal da hipérbole é paralelo ao eixo   x , então   a deverá estar abaixo das coordenadas de   x e o mesmo deverá ser positivo.

x 2 4 3 2 - y 2 128 3 2 = 1

x 2 16 9 - y 2 128 9 = 1

9 x 2 16 - 9 y 2 128 = 1

Resposta

9 x 2 16 - 9 y 2 128 = 1

Segue a representação gráfica desta hipérbole

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