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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.3 - Ex. 27

Os vértices de uma hipérbole estão em - 3 ,   - 1 e - 1 ,   - 1 , e a distância entre os focos é 2 5 . Ache (a) a equação da hipérbole e (b) a equação das assíntotas.

Passo 1

(a)

Primeiramente vamos achar o centro da hipérbole, para isso basta entendermos que os dois vértices estão alinhados com o centro, que por sua vez está no meio dos dois pontos e é equidistante aos vértices. Assim podemos calcular o ponto C (centro) como o ponto médio entre o segmento dos dois vértices.

x c = - 3 + - 1 2 ,     y c = - 1 + - 1 2

x c = - 4 2 ,     y c = - 2 2

x c = - 2 ,     y c = - 1

C   ( - 2 ,   - 1 )

Passo 2

(a)

Agora vamos procurar a , para isso vamos calcular a distância entre o centro e um dos vértices.

a 2 = - 2 - - 1 2 + - 1 - - 1 2

a 2 = - 1 2 + 0 2

a = 1

Passo 3

(a)

A distância focal nos indica 2 c = 2 5 , logo temos c = 5 . Tendo a   e   c podemos encontrar b .

c 2 = a 2 + b 2

5 2 = 1 2 + b 2

4 = b 2

b = 2

Passo 4

(a)

Agora vamos organizar a fórmula desta hipérbole, como o eixo principal da hipérbole é paralelo ao eixo   x , então   a deverá estar abaixo das coordenadas de   x e o mesmo deverá ser positivo.

x 2 1 2 - y 2 2 2 = 1

x 2 1 - y 2 4 = 1

Passo 5

(b)

As assíntotas são dadas como f x : ( y - h ) = b a ( x - k ) e g x :   ( y - h ) = b a ( x - k ) . Assim temos

f x : ( y + 1 ) = 2 1 ( x + 2 )

f x : y = 2 x + 3

g x : y + 1 = - 2 1 ( x + 2 )

g x : y = - 2 x - 5

Resposta

(a)

x 2 1 - y 2 4 = 1

(b)

f x : y = 2 x + 3

g x : y = - 2 x - 5

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