Questão 20) Calcule a integral indefinida:

                      ∫ e 2 x 1 - e x d x

Passo 1

Para a solução desse problema usa-se uma mudança de variável interessante, veja a seguir.

Seja.

U= 1- e x , Então     d u = - e x d x , Substituindo;

∫ e 2 x 1 - e x dx = ∫ e x + x 1 - e x d x = ∫ e x e x 1 - e x d x = ∫ e x ( e x d x ) 1 - e x d x = ∫ ( 1 - u ) u   -   du

  ∫ - 1 u + u 1 2 d u = ∫ ( - u - 1 2   +   u 1 2 ) d u   = 2 3 u 3 2   -   2 u 1 2   +   c .

Mas devemos colocar em função de x, uma vez em que o problema foi dado em função de x.

u= 1- e x ,

∫ e 2 x 1 - e x d x = 2 3 ( 1 - e x ) 3 2 – 2 ( 1 - e x ) 1 2 + c.

Resposta

∫ e 2 x 1 - e x d x = 2 3 ( 1 - e x ) 3 2 – 2 ( 1 - e x ) 1 2 + c.

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