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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 7.2.Problemas Propostos - Ex. 8

Em cada um dos problemas 1 a 8, determinar os vértices A 1 e A 2 , os focos e as excentricidades das elipses dadas. Esboçar o gráfico.

8) 9 x 2 + 25 y 2 = 25

Passo 1

Neste problema, precisamos determinar os vértices A 1 e A 2 , os focos e as excentricidades da elipse dada. Por último, ainda precisamos esboçar o gráfico. Vamos lá? Aposto que vocês conseguem!

Passo 2

Como o eixo maior está sobre o eixo dos x , sabemos que a equação da elipse vai ser dada por:

x 2 a 2 = y 2 b 2 = 1

A equação da elipse dada no enunciado tem a seguinte cara:

9 x 2 + 25 y 2 = 25

Portanto, vamos reescrevê-la de um jeito mais bonitinho, para encontrarmos os valores de a e b :

9 x 2 + 25 y 2 = 25

9 x 2 25 + 25 y 2 25 = 1

x 2 25 9 + y 2 1 = 1

Logo, por comparação, temos:

a 2 = 25 9 ⇒ a = 5 3

b 2 = 1 ⇒ b = 1  

Passo 3

Vamos agora achar a excentricidade da elipse, que é dada por:

e = c a

Como conhecemos os valores de a e b , podemos determinar c :

a 2 = b 2 + c 2

25 9 = 1 + c 2

c 2 = 16 9

c = 4 3

Portanto, a excentricidade é:

e = c a = 4 3 5 3 = 4 5

Passo 4

O centro da elipse é o ponto ( 0 ,   0 ) e os focos são dados por ± c ,   0 = ( ± 4 3 ,   0 ) .

Por último, os vértices são dados por ± a ,   0 = ± 5 3 ,   0 .

Passo 5

Logo, o gráfico é dado por:

Resposta

C 0 ,   0 ,     A ± 5 3 ,   0 ,     F ± 4 3 ,   0 ,     e = 4 5

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Ache o centro, vértices, focos, extremidade do eixo menor da elipse dada. Faça um esboço da curva, mostrando os focos. 5 x 2 + 3 y 2 - 3 y - 1 2 = 0
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Determine se o gráfico da equação dada é uma elipse, um ponto ou um conjunto vazio. 4 x 2 + y 2 - 8 x + 2 y + 5 = 0
Ache a equação da elipse tendo as propriedades dadas e faça um esboço do gráfico.Vértices em ( 0 ,5 ) e ( 0 ,- 5 ) e passa pelo ponto 2 , - 5 5 3 .
Ache a equação da elipse tendo as propriedades dadas e faça um esboço do gráfico.Vértices em ( - 2 ,0 ) e ( 2 ,0 ) e passa pelo ponto - 1 , 3 2 .