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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 8.3 - Ex. 29

Ache o centroide da região limitada pelas curvas.

y = sqrt(x) , y = x

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar o centroide delimitado pelas curvas. Para isso, iremos calcular as coordenadas exatas do centroide utilizando as definições do centroide.

Passo 2

Por definição, temos que

overset(-)(x) = (1)/(A) int_(x 1)^(x 2) x f (x) d x

overset(-)(y) = (1)/(2 A) int_(x 1)^(x 2) f (x)^2 d x

Dessa forma, temos que

A = int_0^1 (sqrt(x) - x) d x = [(2)/(3) x^(3 // 2) - (x^2)/(2)]_0^1 = (1)/(6)

Passo 3

Calculando utilizando as definições do passo anterior, temos

overset(-)(x) = 6 int_0^1 x (sqrt(x) - x) d x = 6 [(2)/(5) x^(5 // 2) - (x^3)/(3)]_0^1 = (2)/(5)

overset(-)(y) = 3 int_0^1 [(sqrt(x))^2 - x^2] d x = 3 [(x^2)/(2) - (x^3)/(3)]_0^1 = (1)/(2)

Resposta

(overset(-)(x) , overset(-)(y)) = ((2)/(5) , (1)/(2))

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