Ache o centroide da região limitada pelo laço da curva y^2 = x^2 - x^3 .

Passo 1

A questão pede para acharmos o centroide da região limitada pelo laço da curva y 2 = x 2 - x 3 . Um esboço do gráfico da curva é dado a seguir:

Note que por simetria, a coordenada y do centro de massa será 0 , isto é

y - = 0

Isso ocorre porque o eixo x é o eixo de simetria da região. Além disso, como a região acima do eixo x é exatamente igual a região abaixo, podemos considerar apenas a parte de cima para achar o centro de massa!

Vamos isolar y como função de x :

y 2 = x 2 1 - x ⇒ y = ± x   1 - x = x 1 - x

Escolhemos o sinal positivo pois vamos usar apenas a parte acima do eixo x ( y ≥ 0 ). A coordenada x do centro de massa de uma região limitada por uma curva do tipo y = f ( x ) e o eixo x é dado por

x - = 1 A ∫ x   f x   d x ,

onde A é a área da região:

A = ∫ f x   d x

Passo 2

Vamos calcular primeiro a área:

A = ∫ 0 1 x 1 - x   d x

Vamos fazer a substituição t = 1 - x ⇒ d t = - d x e x = 1 - t :

A = ∫ 1 0 1 - t t   - d t = ∫ 0 1 1 - t   t   d t

Assim, podemos calcular a integral:

A = ∫ 0 1 t 1 2 - t 3 2   d t = 2 3 t 3 2 - 2 5 t 5 2 0 1

Portanto,

A = 2 3 - 2 5 = 4 15

Passo 3

Agora que temos a área, podemos escrever:

x - = 1 A ∫ x   f x   d x = 15 4 ∫ 0 1 x 2 1 - x   d x

Vamos fazer a mesma substituição do passo anterior: t = 1 - x :

x - = 15 4 ∫ 0 1 1 - t 2 t   d t = 15 4 ∫ 0 1 t 2 - 2 t + 1 t   d t

Assim,

x - = 15 4 ∫ 0 1 t 5 2 - 2 t 3 2 + t 1 2   d t = 15 4 2 7 t 7 2 - 4 5 t 5 2 + 2 3 t 3 2 0 1

Portanto,

x - = 15 4 2 7 - 4 5 + 2 3 = 15 4 30 - 84 + 70 105 = 15 4 ⋅ 16 105 = 4 7

Desta forma, as coordenadas do centroide serão

4 7 ,   0

Resposta

4 7 ,   0

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