Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.9 - Ex. 3
(Teorema de Papus.) Considere o conjunto
Onde e são supostas contínuas em e em [a,b]. Mostre que o volume do sólido, obtido pela rotação em torno do eixo x do conjunto A, é igual ao produto da área de A pelo comprimento da circunferência descrita pelo centro de massa de A.
Passo 1
Pelo teorema de Pappus, temos que
Onde:
- O é a distância do centróide da figura até o eixo em torno do qual a figura gira.
- A é a área da região que vai gerar o sólido
A área deste cojunto pode ser escrita como
Passo 2
Para acharmos o basta calcularmos a distância do centro de massa ao eixo OX e utilizarmos a fórmula de Centro de Massa.
Passo 3
Agora é substituir no teorema
Resposta
Como podemos ver esta é a fórmula de cálculo do volume
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