(Teorema de Papus.) Considere o conjunto

A = { x, y ∈ R | a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ g(x) }

Onde f e g são supostas contínuas em [a, b] e 0 ≤ f(x) ≤ g(x) em [a,b]. Mostre que o volume do sólido, obtido pela rotação em torno do eixo x do conjunto A, é igual ao produto da área de A pelo comprimento da circunferência descrita pelo centro de massa de A.

Passo 1

Pelo teorema de Pappus, temos que

V = 2 π r - A

Onde:

  • O r - é a distância do centróide da figura até o eixo em torno do qual a figura gira.
  • A é a área da região que vai gerar o sólido

A área deste cojunto pode ser escrita como

A = ∫ a b g x - f x d x

Passo 2

Para acharmos o r - basta calcularmos a distância do centro de massa ao eixo OX e utilizarmos a fórmula de Centro de Massa.

r - = d x c , 0 , x c , y c = x c - x c 2 + y c - 0 2 r - = y c = 1 2 ∫ a b ( f x - g x ) ( f x + g x ) d x ∫ a b [ f x - g ( x ) ] d x

Passo 3

Agora é substituir no teorema

V = 2 π 1 2 ∫ a b f x - g x f x + g x d x ∫ a b f x - g x d x ∫ a b g x - f x d x V = π ∫ a b f x - g x f x + g x d x

Resposta

Como podemos ver esta é a fórmula de cálculo do volume

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