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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.9 - Ex. 4

Sejam f e g continuas em [a,b], com α ≤ f x < g x e m   a , b onde α é um real dado. Seja o conjunto

A = { x , y ∈ R a ≤ x ≤ b , f x ≤ y ≤ g ( x ) }

Mostre que o volume do sólido obtido, pela rotação em torno da reta y = α do conjunto A, é igual ao produto da área A pelo comprimento da circunferência descrita pelo centro de massa de A.

Passo 1

Pelo teorema de Pappus, temos que

V = 2 π r - A

Onde:

  • O r - é a distância do centróide da figura até o eixo em torno do qual a figura gira.
  • A é a área da região que vai gerar o sólido

A área deste cojunto pode ser escrita como

A = ∫ a b g x - f x d x

Passo 2

A área deste cojunto pode ser escrita como

A = ∫ a b g x - f x d x

Para acharmos o r - basta calcularmos a distância do centro de massa ao eixo y = α e utilizarmos a fórmula de Centro de Massa.

r - = d x c , α , x c , y c = x c - x c 2 + y c - α 2 r - = y c - α 2 r - = y c - α r - = 1 2 ∫ a b ( f x - g x ) ( f x + g x ) d x ∫ a b [ f x - g ( x ) ] d x - α

Passo 3

Agora é substituir no teorema

V = 2 π 1 2 ∫ a b f x - g x f x + g x d x ∫ a b f x - g x d x - α ∫ a b g x - f x d x V = π ∫ a b f x - g x f x + g x - α   d x

Resposta

Como podemos ver esta é a fórmula de cálculo do volume

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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