Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.9 - Ex. 2b

Determine o centro de massa do gráfico da função dada

f x = x 2 , - 1 2 ≤ x ≤ 1 2

Passo 1

Essa questão é bem direta, ele pede para acharmos o centro de massa no intervalo - 1 2 ≤ x ≤ 1 2 . Para isso, basta aplicar a fórmula do CM que é

x c = ∫ a b x 1 + f ' x 2   d x ∫ a b 1 + f ' x 2    

y c = ∫ a b f ( x ) 1 + f ' x 2   d x ∫ a b 1 + f ' x 2    

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função que ele deu para gente

f x = x 2

f ' x = 2 x

Depois basta substituir nas fórmulas

x c = ∫ - 1 2 1 2 x 1 + 2 x 2   d x ∫ - 1 2 1 2 1 + 2 x 2     d x

x c = ∫ - 1 2 1 2 x 1 + 4 x 2   d x ∫ - 1 2 1 2 1 + 4 x 2   d x  

Resolvendo essas integrais temos que

x c = 0 1 2 ( 2 + 1 2 ( ln ⁡ 2 + 1 - ln ⁡ ( 2 - 1 ) ) )

x c = 0

Passo 3

Para y c

y c = ∫ a b f x 1 + f ' x 2   d x ∫ a b 1 + f ' x 2    

y c = ∫ - 1 2 1 2 x 2 1 + 4 x 2   d x ∫ - 1 2 1 2 1 + 4 x 2 d x

Resolvendo essas integrais temos que

y c = - ln ⁡ 2 + 1 + ln ⁡ 2 - 1 + 6 2 64 1 2 ( 2 + 1 2 ( ln ⁡ 2 + 1 - ln ⁡ ( 2 - 1 ) ) )

y c = 3 2 - ln ⁡ 2 + 1 16 2 + 16 ln ⁡ 2 + 1

Resposta

x c = 0

y c = 3 2 - ln ⁡ 2 + 1 16 2 + 16 ln ⁡ 2 + 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área da região sob a curva dada de 1 até 2 . y = 1 x 3 + x
Esboce a região no plano xy definida pelas inequações x - 2 y 2 ≥ 0 ,1 - x - y ≥ 0 e encontre sua área.
Use a Regra do Ponto Médio com n = 4 para aproximar a área de uma região limitada pelas curvas dadas. y = s e n 2 π x / 4 , y = cos 2 ⁡ π x / 4 ,0 ≤ x ≤ 1
As larguras (em metros) de uma piscina com o formato de rim foram medidas a intervalos de 2 metros, como indicado na figura. Use a regra do ponto médio para estimar a área da piscina.
Use um gráfico para encontrar os valores aproximados das coordenadas x dos pontos de intersecção das curvas indicadas. A seguir, encontre a área aproximada da região delimitada pelas curvas. y = x cos