Determine o centro de massa do gráfico da função dada

f(x) = x^2, -1/2 ≤ x ≤ 1/2

Passo 1

Essa questão é bem direta, ele pede para acharmos o centro de massa no intervalo - 1 2 ≤ x ≤ 1 2 . Para isso, basta aplicar a fórmula do CM que é

x c = ∫ a b x 1 + f ' x 2   d x ∫ a b 1 + f ' x 2    

y c = ∫ a b f ( x ) 1 + f ' x 2   d x ∫ a b 1 + f ' x 2    

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função que ele deu para gente

f x = x 2

f ' x = 2 x

Depois basta substituir nas fórmulas

x c = ∫ - 1 2 1 2 x 1 + 2 x 2   d x ∫ - 1 2 1 2 1 + 2 x 2     d x

x c = ∫ - 1 2 1 2 x 1 + 4 x 2   d x ∫ - 1 2 1 2 1 + 4 x 2   d x  

Resolvendo essas integrais temos que

x c = 0 1 2 ( 2 + 1 2 ( ln ⁡ 2 + 1 - ln ⁡ ( 2 - 1 ) ) )

x c = 0

Passo 3

Para y c

y c = ∫ a b f x 1 + f ' x 2   d x ∫ a b 1 + f ' x 2    

y c = ∫ - 1 2 1 2 x 2 1 + 4 x 2   d x ∫ - 1 2 1 2 1 + 4 x 2 d x

Resolvendo essas integrais temos que

y c = - ln ⁡ 2 + 1 + ln ⁡ 2 - 1 + 6 2 64 1 2 ( 2 + 1 2 ( ln ⁡ 2 + 1 - ln ⁡ ( 2 - 1 ) ) )

y c = 3 2 - ln ⁡ 2 + 1 16 2 + 16 ln ⁡ 2 + 1

Resposta

x c = 0

y c = 3 2 - ln ⁡ 2 + 1 16 2 + 16 ln ⁡ 2 + 1

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