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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.Revisão - Ex. 28

Ache o centróide da região limitada pela parábola y 2 = x e pela reta y = x - 2 .

Passo 1

A primeira coisa a se fazer aqui, pessoal, é tentar indentificar que região é essa, no nosso caso, temos uma parábola com concavidade para direita e vértice na origem e uma reta que passa pelos pontos P 1 = ( 4,2 ) e P 2 = ( 2,0 ) . Segue a imagem:

Percebam que a parábola e a reta passam pelos pontos ( 4,2 ) e ( 1 , - 1 ) , logo, esses são os pontos de interseção.

É importante perceber que aqui nós vamos usar integrais em relação a y , para facilitar o nosso trabalho.

Vamos lembrar a fórmula do centróide: Seja R a região limitada pela curva x = f ( y ) e x = g ( y ) , pelo eixo y e pelas retas y = a e y = b . A função f é contínua em [ a , b ] e f y ≥   g ( y )     ∀ y ∈ [ a , b ] . Se M x denotar o momento de R em relação ao eixo x e M y denotar o momento de R em relação ao eixo y , então:

M y = 1 2 ∫ a b f y + g y [ f y - g ( y ) ] d y               e                   M x = ∫ a b y [ f y - g ( y ) ] d y  

E se C = ( x - , y - ) for o centróide da região plana R cuja área é A unidades quadradas e M x e M y forem definidos como acima, temos:

C = M y A , M x A

Pronto! Agora devemos achar M x ,   M y e A . Sendo f y = y + 2 (pois y = x - 2 ) e g y = y 2 . Lembre-se: f é a função maior e g a menor.

Passo 2

Vamos começar achando a área da região no intervalo de [ - 1,2 ] (lembre-se dos pontos de interseção do gráfico). Sendo assim, a área será dada pela seguinte integral definida:

A = ∫ - 1 2 f ( y ) - g ( y ) d y = ∫ - 1 2 y + 2 - y 2 d y = y 2 2 + 2 y - y 3 3   - 1 2

= 2 2 2 + 2 2 - 2 3 3 - 1 2 - 2 - - 1 3 = 2 + 4 - 8 3 - 1 2 + 2 - 1 3 = 8 - 1 2 - 9 3 = 8 - 3 - 1 2

A = 5 - 1 2 = 9 2           →               A = 9 2     u . a

Lembre-se que ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C       n ≠ - 1 .

Passo 3

Agora acharemos o momento da região em relação ao eixo x .

M x = ∫ a b y [ f y - g ( y ) ] d y = ∫ - 1 2 y [ y + 2 - y 2 ] d y = ∫ - 1 2 ( y 2 + 2 y - y 3 ) d y

= y 3 3 + 2 y 2 2 - y 4 4 - 1 2 = 2 3 3 + 2 ( 2 ) 2 2 - ( 2 ) 4 4 - - 1 3 + 2 2 - 1 4

= 8 3 + 4 - 4 + 1 3 - 1 + 1 4 = 9 3 - 1 + 1 4 = 36 - 12 + 3 12 = 27 12 = 9 4

Passo 4

Agora acharemos o momento da região em relação ao eixo y .

M y = 1 2 ∫ a b f y + g y [ f y - g ( y ) ] d y = 1 2 ∫ - 1 2 y + 2 + y 2 [ y + 2 - y 2 ] d y

= 1 2 ∫ - 1 2 ( y + 2 2 - y 4 ) d y = 1 2 y + 2 3 3 - y 5 5 - 1 2

= 1 2 2 + 2 3 3 - 2 5 5 - 1 2 - 1 + 2 3 3 - ( - 1 ) 5 5 = 1 2 64 3 - 32 5 - 1 2 1 3 + 1 5

= 1 2 64 3 - 1 3 - 32 5 - 1 5 = 1 2 63 3 - 33 5 = 1 2 5 ⋅ 65 - 3 ⋅ 33 15

= 315 - 99 30 = 216 30

M y = 36 5

Passo 5

Por último vamos substituir tudo na fórmula do centróide:

C = M y A , M x A = 36 5 9 2 , 9 4 9 2 = 36 5 ⋅ 2 9 , 9 4 ⋅ 2 9 = 8 5 , 1 2

Prontinho, achamos o centróide.

Resposta

C = 8 5 , 1 2

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