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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.8 - Ex. 38

Prove que a função secante é contínua em seu domínio.

Passo 1

Para provarmos que a função co-secante é contínua em seu domínio precisamos mostrar que se a for um número real qualquer dentro de seu domínio, temos:

lim x → a ⁡ csc ⁡ x = csc ⁡ a

Para provar precisamos usar da seguinte relação trigonométrica: csc ⁡ x = 1 sin ⁡ x , que pode rescrever nosso limite da seguinte maneira:

lim x → a ⁡ csc ⁡ x = lim x → a ⁡ 1 sin ⁡ x

Passo 2

Agora basta provar a função seno como continua também se a for um número real qualquer, enquanto o 1 por ser uma constante podemos considera-lo como uma função contínua. Assim se individualmente as duas funções são consideradas contínuas, a sua combinação como uma função racional também será. Para provar a continuidade vamos usar da seguinte relação:

lim x → a ⁡ f ( x ) = lim t → 0 ⁡ f ( t + a )

Passo 3

Agora vamos provar que a função seno é contínua se a for um número real qualquer.

lim x → a ⁡ sin ⁡ ( x ) = lim t → 0 ⁡ sin ⁡ ( t + a )

sin ⁡ ( t + a ) pode ser entendido como a seguinte equação:

sin ⁡ t + a = sin ⁡ t cos ⁡ a + cos ⁡ t sin ⁡ a

lim t → 0 ⁡ sin ⁡ ( t + a ) = lim t → 0 ⁡ sin ⁡ t cos ⁡ a + cos ⁡ t sin ⁡ a

lim t → 0 ⁡ sin ⁡ ( t + a ) = sin ⁡ ( 0 ) cos ⁡ a + cos ⁡ ( 0 ) sin ⁡ a

lim t → 0 ⁡ sin ⁡ ( t + a ) = ( 0 ) cos ⁡ a + ( 1 ) sin ⁡ a

lim t → 0 ⁡ sin ⁡ ( t + a ) =   sin ⁡ a

Assim está provado que a função seno é contínua.

Resposta

Como as funções 1 e seno são contínuas se a for um número real qualquer, a combinação das duas funções como uma função racional é contínua. Então a função co-secante é contínua desde que a faça parte de seu domínio e então sin ⁡ a ≠ 0 .

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Prove que a função tangente é contínua em seu domínio.
Suponha que f x ≤ M para todo x , onde M é uma constante, use o teorema do “sanduíche” para provar que lim x → 0 ⁡ x 2 f x = 0
Encontre o limite, se existir. l i m x → 0 sin ⁡ x sin ⁡ 1 x
Se f x ≤ k x - a para todo x ≠ a , onde k é uma constante prove que lim x → a ⁡ f x = 0
Suponha que f x ≤ M para todo x , onde M é uma constante. Além disso, suponha que lim x → a ⁡ g x = 0 . Use o teorema do “sanduíche” para provar que lim x → a ⁡ f x g x = 0