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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 3

Encontrar o comprimento da curva dada.

y = (1)/(3) (2 + x^2)^((3)/(2)) , 0 <= x <= 3

Passo 1

Bom, pra achar comprimento de curva a gente usa a fórmula:

L = int_a^b sqrt(1 + f^' (x)^2)

Então vamos derivar nossa função primeiro...

y^' = (1)/(3) * (3)/(2) (2 + x^2)^((1)/(2)) * 2 x

y^' = x (2 + x^2)^((1)/(2))

Aí a gente pode aplicar na fórmula de uma vez:

L = int_0^3 sqrt(1 + (x (2 + x^2)^((1)/(2)))^2) d x

Passo 2

Vamos resolver essa integral agora:

L = int_0^3 sqrt(1 + x^2 (2 + x^2)) d x

L = int_0^3 sqrt(1 + 2 x^2 + x^4) d x

L = int_0^3 sqrt((x^2 + 1)^2) d x

L = int_0^3 x^2 + 1 d x

L = [(x^3)/(3) + x]_0^3

L = (27)/(3) + 3 = 12

Prontinho! Esse é o comprimento da curva pedida😉

Resposta

L = 12

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