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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.5 - Ex. 34

34. Ache o centroide da região, no primeiro quadrante, limitada pela curva x + 2 2 y = 4 - x .

Passo 1

Nesta questão, devemos saber que para calcular o centróide de uma região devemos encontrar sua área primeiro uma vez que o centróide é dado por:

x - , y - = M y A , M x A

Passo 2

Sendo assim, a área da região em questão pode ser calculada como:

A = ∫ 0 4 4 - x x + 2 2 d x  

Utilizando o método de substituição simples, podemos fazer u = x + 2 ,   x = u - 2 ,   d u = d x . Assim, a integral pode ser reescrita como:

A = ∫ 2 6 6 - u u 2 d u = ∫ 2 6 6 u 2 - 1 u d u = - 6 u - ln ⁡ u = 2 - ln ⁡ 3

Passo 3

O calculo de M y é dado por:

M y = ∫ 0 4 x . 4 - x x + 2 2 d x = ∫ 2 6 u - 2 6 - u u 2 d u = ∫ 2 6 - 1 + 8 u - 12 u 2 d u

= - u + 8 ln ⁡ u + 12 u 2 6 = 8 ln ⁡ 3 - 8

Passo 4

O calculo de M x é dado por:

M x = 1 2 ∫ 0 4 ( 4 - x ) x + 2 4 2 d x = 1 2 ∫ 2 6 6 - u 2 u 4 d u = 1 2 ∫ 2 6 ( u - 2 - 12 u - 3 + 36 u - 4 ) d u

= 1 2 - 1 u + 6 u 2 - 12 u 3 2 6 = 2 9

Sendo assim, o centróide da região em questão pode ser dado por:

x - = 8 ln ⁡ 3 - 8 2 - ln ⁡ 3

y - = 2 9 ( 2 - ln ⁡ 3 )

Resposta

x - = 8 ln ⁡ 3 - 8 2 - ln ⁡ 3

y - = 2 9 ( 2 - ln ⁡ 3 )

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