Se f x = ∫ 0 x s e n ( t )   d t , ache o comprimento do arco do gráfico de f do ponto x = 0 ao ponto x = π 2 .

Passo 1

Do teorema fundamental do cálculo temos:

f ' x = s e n t   → f ' x 2 = s e n t

Na teoria de comprimentos de arco, temos um teorema que diz o seguinte: se a função f e sua derivada f’ forem contínuas no intervalo fechado [a,b], entao o comprimento do arco da curva y = f ( x ) do ponto ( a , f a ) ao ponto ( b , f b ) será dado por

L = ∫ a b 1 + f ' x 2   d x

Assim, podemos reescrever a integral do enunciado como:

f t = ∫ 0 π 2 1 + s e n t   d t

Passo 2

Vamos fazer a seguinte substituição nos limites da integral: x = π 2 - u   → d x = - d u , s e n x = s e n π 2 - u = c o s ⁡ ( u ) . Então:

f u = ∫ u = π 2 0 1 + cos ⁡ u - d u = ∫ 0 π 2 2 c o s 2 1 2 u d u f u = 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ 1 2 u d u = 2 2 s e n 1 2 u 0 π 2 f u = 2 2 s e n 1 2 * π 2 - 2 s e n 0 = 2 * 2 2 2 f x = 2  

Resposta

O comprimento do arco é f x = 2 .

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