Ache o comprimento do arco da curva y = 2 / 3 * (x - 5)^(3/2) do ponto onde x = 6 ao ponto onde x = 8 .

Passo 1

A questão pede o comprimento da curva y = 2 3 x - 5 3 / 2 de x = 6 até x = 8 . Para isso você precisa lembrar a fórmula do comprimento de arco:

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Desta forma, devemos derivar y para achar y ' :

y ' = 3 2 ⋅ 2 3 x - 5 1 2 = x - 5

Assim,

1 + y ' 2 = 1 + x - 5 = x - 4

Portanto,

L = ∫ 6 8 x - 4   d x

Passo 2

Essa integral é facilmente calculada com a substituição t = x - 4 ⇒ d t = d x . Assim,

L = ∫ 2 4 t   d t = ∫ 2 4 t 1 / 2   d t

Observe que eu mudei os limites de integração também! Nuca se esqueça disso!

Calculando a integral:

L = 2 3 t 3 2 2 4 = 2 3 2 3 - 2 3 2 = 2 3 8 - 2 2

Portanto, o comprimento do arco será

L = 4 3 4 - 2

Resposta

4 3 4 - 2

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