Ache o comprimento do arco da curva x 2 3 + y 2 3 = 1 no primeiro quadrante, do ponto onde x = 1 8 ao ponto onde x = 1 .

Passo 1

A questão pede o comprimento da curva x 2 3 + y 2 3 = 1 entre x = 1 / 8 e x = 1 . O comprimento de uma curva é dado pela integral:

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Primeiro temos que isolar y :

y 2 3 = 1 - x 2 3 ⇒ y = 1 - x 2 3 3 2

Assim temos que

y ' = 3 2 1 - x 2 3 1 / 2 ⋅ 1 - x 2 3 '

Portanto,

y ' = - x - 1 3 ⋅ 1 - x 2 3 1 / 2

Desta forma,

1 + y ' 2 = 1 + 1 - x 2 / 3 x 2 / 3

Assim, fazendo o mmc:

1 + y ' 2 = x 2 / 3 + 1 - x 2 / 3 x 2 / 3 = x - 2 / 3

Portanto,

1 + y ' 2 = x - 1 3

Assim, o comprimento será

L = ∫ 1 / 8 1 x - 1 / 3   d x

Passo 2

Calculando a integral:

L = 3 2 x 2 3 1 8 1

Assim,

L = 3 2 1 2 3 - 1 8 2 3 = 3 2 1 - 1 4 = 3 2 ⋅ 3 4

Portanto, o comprimento da curva será

L = 9 8

Resposta

9 8

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