Ache o comprimento do arco da curva 6xy = y^4 + 3 do ponto onde y = 1 ao ponto onde y = 2 .

Passo 1

A questão pede o comprimento da curva 6 x y = y 4 + 3 de y = 1 até y = 2 . Note que é bem difícil isolar y como função de x nessa equação, então neste caso é mais conveniente calcular o comprimento integrando em y :

L = ∫ a b 1 + x ' 2   d y

Para isso, precisamos isolar x como função de y :

6 x y = y 4 + 3 ⇒ x = y 3 6 + 1 2 y

Agora derivamos x :

x ' = 3 y 2 6 - 1 2 y 2 = 1 2 y 2 - y - 2

Assim, temos que

1 + x ' 2 = 1 + 1 4 y 4 - 2 + y - 4 = y 4 + 2 + y - 4 4 = y 2 + y - 2 2 2

Portanto,

1 + x ' 2 = y 2 + y - 2 2

Desta forma, o comprimento será

L = 1 2 ∫ 1 2 y 2 + y - 2   d y

Passo 2

Para calcular a integral basta usar a regra do tombo inversa:

L = 1 2 y 3 3 - y - 1 1 2 = 1 2 8 3 - 1 2 - 1 3 + 1

Portanto,

L = 1 2 7 3 + 1 2 = 1 2 14 + 3 6

Assim,

L = 17 12

Resposta

17 12

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