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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 6

Ache o comprimento do arco da curva x^2 = (2 y + 3)^3 de ( 1 , - 1 ) a ( 7 sqrt(7) , 2 ) .

Passo 1

O exercício pede o comprimento da curva x^2 = (2 y + 3)^3 entre os pontos ( 1 , - 1 ) e ( 7 sqrt(7) , 2 ) . Neste caso, é mais fácil isolar x como função de y então vamos usar a integral em y :

L = int_a^b sqrt(1 + (x^')^2) d y

Isolando x :

x = (2 y + 3)^((3)/(2))

Derivando,

x^' = (3)/(2) (2 y + 3)^(1 // 2) * (2 y + 3)^' = 3 sqrt(2 y + 3)

Assim,

sqrt(1 + (x^')^2) = sqrt(1 + 9 ( 2 y + 3 )) = sqrt(28 + 18 y)

Portanto,

L = int_(- 1)^2 sqrt(28 + 18 y) d y

Passo 2

Para calcular essa integral, vamos fazer a substituição t = 28 + 18 y => d t = 18 d y . Assim, mudando os limites de integração:

L = (1)/(18) int_(10)^(64) sqrt(t) d t = int_(1 0)^(64) t^(1 // 2) d t = ((2)/(3) t^((3)/(2)))_(1 0)^(6 4)

Assim,

L = (2)/(3) (64^((3)/(2)) - 10^((3)/(2)))

Resposta

(2)/(3) (64^((3)/(2)) - 10^((3)/(2)))

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Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva. x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1
Ache o comprimento da curva. x = 1 3 y( y - 3 ) , 1 ≤ y ≤ 9
Ache o comprimento da curva. x = y 4 8 + 1 4 y 2 1 ≤ y ≤ 2
Use a fórmula do comprimento de arco para achar o comprimento da curva y = 4 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 2 . Verifique o seu resultado observando que a curva é um quarto de círculo.
Use a fórmula 3 do comprimento de arco para encontrar o comprimento da curva y = 2 x - 5 , - 1 ≤ x ≤ 3 . Verifique o seu resultado observando que a curva é um segmento de reta e calculando seu comprim