Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.1 - Ex. 11
Ache o comprimento da curva.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar o comprimento da curva , no intervalo .
Pra isso, precisamos lembrar da fórmula do comprimento de arco:
Onde é a derivada da nossa função e é o intervalo considerado. Então, basta substituir tudo na fórmula e calcular a integral.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar reescrevendo a função na forma:
Assim, derivando, usando a regrinha da potência, temos:
Elevando esse resultado ao quadrado e somando , vamos ter:
Expandindo o produto notável dos parênteses:
Simplificando:
E fatorando, ficamos com:
É isso que nós vamos colocar no nosso integrando, porque é igual a , sacou?
Passo 3
Então, usando a fórmula do comprimento de arco, no intervalo , com o integrando que encontramos no passo anterior, vamos ter:
Dá pra simplificar esse quadrado com a raiz e ficar com:
Colocando em evidência e jogando pra fora da integral:
Assim, integrando em relação a , vamos ter:
E aplicando os limites de integração, temos:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉