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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.Revisão - Ex. 36

Ache o limite, se existir.

underset(t -> + oo)(lim) (sqrt(t^2 + t) - sqrt(t^2 + 4))

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação oo - oo para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Para isso vamos multiplicar e dividir o limite pelo conjugado de (sqrt(t^2 + t) - sqrt(t^2 + 4)) .

underset(t -> + oo)(lim) (sqrt(t^2 + t) - sqrt(t^2 + 4)) * ((sqrt(t^2 + t) + sqrt(t^2 + 4)))/((sqrt(t^2 + t) + sqrt(t^2 + 4)))

underset(t -> + oo)(lim) ((t^2 + t) - (t^2 + 4))/((sqrt(t^2 + t) + sqrt(t^2 + 4)))

underset(t -> + oo)(lim) (t - 4)/((sqrt(t^2 + t) + sqrt(t^2 + 4)))

Passo 2

Agora vamos por sqrt(t^2 + 4) em evidência de todos os termos do denominador.

underset(t -> + oo)(lim) (t - 4)/((sqrt(t^2 + 4)) (((sqrt(t^2 + t)))/((sqrt(t^2 + 4))) + ((sqrt(t^2 + 4)))/((sqrt(t^2 + 4)))))

underset(t -> + oo)(lim) (t - 4)/((sqrt(t^2 + 4)) (((sqrt(t^2 + t)))/((sqrt(t^2 + 4))) + 1))

Passo 3

Agora vamos aplicar o Teorema de Limites 6 e elevar ao quadrado e tirar raiz quadrada de (t - 4) temos:

underset(t -> + oo)(lim) (sqrt((t - 4)^2))/((sqrt(t^2 + 4)) (((sqrt(t^2 + t)))/((sqrt(t^2 + 4))) + 1))

underset(t -> + oo)(lim) sqrt(((t - 4)^2)/(t^2 + 4)) underset(t -> + oo)(lim) (1)/((sqrt((t^2 + t)/(t^2 + 4)) + 1))

Passo 4

Agora vamos desenvolver (t - 4)^2 e por t^2 em evidência de todos os termos.

underset(t -> + oo)(lim) sqrt((t^2 + 8 t + 16)/(t^2 + 4)) underset(t -> + oo)(lim) (1)/((sqrt((t^2 + t)/(t^2 + 4)) + 1))

underset(t -> + oo)(lim) sqrt((t^2 + 8 t + 16)/(t^2 + 4)) underset(t -> + oo)(lim) (1)/((sqrt((t^2 + t)/(t^2 + 4)) + 1))

underset(t -> + oo)(lim) sqrt((t^2 (1 + (8)/(t) + (16)/(t^2)))/(t^2 (1 + (4)/(t^2)))) underset(t -> + oo)(lim) (1)/((sqrt((t^2 (1 + (1)/(t)))/(t^2 (1 + (4)/(t^2)))) + 1))

underset(t -> + oo)(lim) sqrt(((1 + (8)/(t) + (16)/(t^2)))/((1 + (4)/(t^2)))) underset(t -> + oo)(lim) (1)/((sqrt(((1 + (1)/(t)))/((1 + (4)/(t^2)))) + 1))

Passo 5

Por fim usando o Teorema de Limites 13 temos:

sqrt(((1 + 0 + 0))/((1 + 0))) (1)/((sqrt(((1 + 0))/((1 + 0))) + 1))

sqrt((1)/(1)) (1)/((sqrt((1)/(1)) + 1))

(1)/(2)

Resposta

underset(t -> + oo)(lim) (sqrt(t^2 + t) - sqrt(t^2 + 4)) = (1)/(2)

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Calculem ) underset(x - + oo)(lim) ((2 + x)/(3 + x^2))
Calculel ) underset(x - + oo)(lim) ((x + 1)/(x^2 - 2))
Ache o limite, se existir. lim x → + ∞ ⁡ 3 x 2 + 2 x - 5 x 2 + 4
Ache o limite, se existir.underset(x - + oo)(lim) (sqrt(x + 1) - sqrt(x))
Ache o limite, se existir. lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 5 2 x - 4