Enunciado

Use a fórmula do comprimento de arco para achar o comprimento da curva y = 2 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 . Verifique o seu resultado observando que a curva é um quarto de círculo.

Passo 1

Devemos calcular o comprimento da curva dada usando a fórmula de comprimento de curva. Por outro lado, note que essa curva representa um quarto do círculo dado por x 2 + y 2 = 2 , de raio 2 . Assim, seu comprimento deve ser

L 1 = 1 4 ⋅ 2 π R

L 1 = 1 4 ⋅ 2 π ⋅ 2

L 1 = 2 π 2

Agora vamos tentar usar a fórmula de comprimento para verificar o resultado!!

Passo 2

O comprimento de arco é dado por

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Desta forma, como y = 2 - x 2 , temos que

y ' = 1 2 2 - x 2 ⋅ - 2 x

y ' = - x 2 - x 2

Assim:

y ' 2 = x 2 2 - x 2

1 + y ' 2 = 1 + x 2 2 - x 2

Logo:

1 + y ' 2 = 2 - x 2 + x 2 2 - x 2

1 + y ' 2 = 2 2 1 - x 2 2

1 + y ' 2 = 1 1 - x 2 2

Passo 3

Portanto, o comprimento será

L = ∫ 0 1 1 1 - x 2 2   d x = ∫ 0 1 1 1 - x 2 2   d x

Como a primitiva de 1 / 1 - x 2 é arcsen ⁡ x , teremos que:

∫ 1 1 - x 2 2   d x = 2 arcsen ⁡ x 2

Portanto:

∫ 0 1 1 1 - x 2 2   d x = 2 arcsen ⁡ 1 2 - 2 arcsen ⁡ 0 2

L = 2 π 4

L = L 1 2 ⇔ 2 π 4 = 2 π 2 2

Isso quer dizer que na verdade o comprimento da curva y = 2 - x 2 no intervalo 0 ≤ x ≤ 1 equivale a um oitavo de um círculo.

Resposta

L = 2 π 4

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