Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 38
Ache o comprimento da catenária de até
Passo 1
Um resumo sobre o que é catenária: Em matemática, a catenária descreve uma família de curvas planas semelhantes às que seriam geradas por uma corda suspensa pelas suas extremidades e sujeitas à ação da gravidade. A equação da forma da catenária é dada pela função hiperbólica.
Agora para resolver, a primeira coisa a se fazer é lembrar a fórmula que calcula o comprimento de uma curva em um intervalo .
Essa é a fórmula.
Passo 2
Precisamos de e do intervalo de integração para montar a integral.
Se , então .
Já o intervalo de integração será de até , abscissas dos pontos dados no enunciado.
Sendo assim, o comprimento é dado por
Passo 3
Antes de resolver a integral, vamos usar a identidade:
e ficar com:
Podemos tirar do módulo, pois , é uma função sempre positiva!
Passo 4
Sabemos da integral definida que:
Em que é uma primitiva de .
Dessa forma,
Aqui usamos o fato de , a primitiva que precisávamos.
Passo 5
Pessoal, . Então:
Usei as propriedades de logaritmo e .
Sendo assim, o comprimento é