Ache o comprimento da catenária y = cosh x de (ln 2, 5 / 4) até (ln(3), 5 / 3)

Passo 1

Um resumo sobre o que é catenária: Em matemática, a catenária descreve uma família de curvas planas semelhantes às que seriam geradas por uma corda suspensa pelas suas extremidades e sujeitas à ação da gravidade. A equação da forma da catenária é dada pela função hiperbólica.

Agora para resolver, a primeira coisa a se fazer é lembrar a fórmula que calcula o comprimento de uma curva f ( x ) em um intervalo [ a , b ] .

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Essa é a fórmula.

Passo 2

Precisamos de [ f ’ x ] e do intervalo de integração para montar a integral.

Se f x = cosh ⁡ x , então f ' x = senh ⁡ x   →       f ' x 2 = senh 2 ⁡ x .

Já o intervalo de integração será de x = ln ⁡ 2 até x = ln ⁡ 3 , abscissas dos pontos dados no enunciado.

Sendo assim, o comprimento é dado por

L = ∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 3 1 + senh 2 ⁡ x d x

Passo 3

Antes de resolver a integral, vamos usar a identidade:

1 + senh 2 ⁡ x = cosh 2 ⁡ x

e ficar com:

∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 3 1 + senh 2 ⁡ x d x = ∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 3 cosh 2 ⁡ x d x = ∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 3 | cosh ⁡ x | d x = ∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 3 cosh ⁡ x d x

Podemos tirar do módulo, pois cosh ⁡ x , é uma função sempre positiva!

Passo 4

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

L = ∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 3 cosh ⁡ x d x = senh ⁡ ( ln ⁡ 3 ) - senh ⁡ ( ln ⁡ 2 )

Aqui usamos o fato de senh ⁡ x ' = cosh ⁡ x , a primitiva que precisávamos.

Passo 5

Pessoal, senh ⁡ x = ( e x - e - x ) 2 . Então:

L = ( e ln ⁡ 3 - e - ln ⁡ 3 ) 2 - ( e ln ⁡ 2 - e - ln ⁡ 2 ) 2 = 3 - 1 3 2 - 2 - 1 2 2

Usei as propriedades de logaritmo e ln ⁡ x = x e ln ⁡ x a = a ln ⁡ x .

L = 9 - 1 3 2 - 4 - 1 2 2 = 8 3 - 3 2 2 = 16 - 9 6 2 = 7 12   u . c

Sendo assim, o comprimento é L = 7 12   u . c

Resposta

L = 7 12   u . c

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