Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 44
Um helicóptero deixa o solo num ponto a 250 m de um observador e sobe verticalmente a 7,5 m/s. Ache a taxa de variação no tempo da medida do ângulo de elevação do helicóptero quando ele estiver a 180 m do solo.
Passo 1
Esse vai ser um problema de taxas relacionadas, a primeira coisa a tentar se fazer neste tipo de questão é um esboço do que está acontecendo, olhem na imagem abaixo como facilita o entendimento.
Temos o helicóptero que deixou o solo no ponto D a m do observador e subiu verticalmente formando o ângulo de elevação . Também marquei o que é a altitude do helicóptero. Queremos a taxa de variação do ângulo quando a altitude é m.
Precisamos descobrir e temos a velocidade com que o helicóptero sobe, que é a taxa de variação do nosso em relação ao tempo, já que ele sempre sobe na vertical. Sendo assim, .
Passo 2
Precisamos descobrir uma expressão para Para achar , temos das relações trigonométricas:
Então .
Passo 3
Para achar precisamos derivar implicitamente a expressão de em relação ao tempo. Vamos então tomar a derivada de ambos os lados:
Agora devemos lembrar que em que é uma função. Aplicando a fórmula, ficamos com:
Lembre-se que derivamos acima implicitamente em relação a . Chegamos então em:
Passo 4
Agora vamos substituir .
Passo 5
Nesta etapa vamos substituir o , que é quando o helicóptero está a 180 m de altitude. Sendo assim, quando :
Pronto! A taxa de variação é rad/s.
Resposta
O ângulo de elevação está aumentando a uma taxa de rad/s.