Para a função , prove que o comprimento do arco em qualquer intervalo tem o mesmo valor que a área abaixo da curva

A fórmula do comprimento do arco para a curva em qualquer intervalo é:

Derivando , temos:

Agora, vamos calcuar o termo , da seguinte maneira:

Desenvolvendo o quadrado, temos:

Fatorando o termo, encontramos:

Tirando da raiz, obtemos:

Portanto:

Sabemos que a fórmula da área sob a curva é dada por:

Portanto, se , temos que:

Analisando as equações do comprimento do arco em qualquer intervalo e da área sob a curva, podemos comprovar que são iguais.