Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.1 - Ex. 36
Um vento contínuo sopra uma pipa para oeste. A altura da pipa acima do solo a partir da posição horizontal até é dada por . Ache a distância percorrida pela pipa.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar a distância percorrida pela pipa, sabendo que a altura da pipa acima do solo a partir da posição horizontal até é dada por .
Então, temos que calcular o comprimento dessa curva entre e . Lembrando que o comprimento de uma curva é dado por:
Onde é a derivada da nossa função e é o intervalo considerado. Então, basta substituir tudo na fórmula e calcular a integral.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando a expressão da curva:
Elevando esse resultado ao quadrado, temos:
Desta forma, o comprimento da curva é dado pela integral:
Passo 3
Para calcular essa integral, fazemos primeiro a mudança de variável:
Quando , temos que e para , achamos :
Agora fazemos uma nova mudança de variável:
Para , temos que:
Já para , temos
Portanto, nossa integral vai ficar:
Passo 4
Para calcular essa integral, fazemos a mudança de variável . Assim,
Logo,
Quando fazemos essa mudança de variável, definimos a tangente no intervalo . Nesse intervalo, , de modo que
Portanto,
Além disso,
Com isso, temos que calcular a integral da secante ao cubo:
Essa integral pode ser calculada e o próprio livro fez isso no exemplo 8 da seção 7.2 sobre integrais trigonométricas. O resultado é
Se você quiser entender direitinho como se faz essa integral, vai lá dar uma olhadinha!
Passo 5
Mas nós queremos voltar para a variável , pois
com . Sabemos que
Assim,
Com isso, achamos que
Passo 6
Bom, agora podemos finalmente achar a resposta do problema:
Assim, aplicando os intervalos de integração:
Com isso,
Como , temos que
Desta forma, a distância percorrida pela pipa é dada por
Valeu, galera! Até a próxima! 😉