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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 8.1 - Ex. 17

Ache o comprimento da curva.

y = e^x , 0 <= x <= 1

Passo 1

E aí, galerinha!

Devemos calcular o comprimento da curva no intervalo dado.

y = e^x , 0 <= x <= 1

Para isso, vamos usar a expressão

L = int_a^b sqrt(1 + (y^')^2) d x

Primeiro vamos achar y ' :

y^' = e^x => 1 + (y^')^2 = 1 + e^(2 x)

Veja só!

Passo 2

Desta forma, o comprimento é dado pela integral

L = int_0^1 sqrt(1 + e^(2 x)) d x

Vamos fazer u = e^x , de modo que d u = e^x d x => d x = d u // u . Assim,

L = int_1^e (sqrt(1 + u^2))/(u) d u = int_1^e (sqrt(1 + u^2))/(u^2) u d u

Agora façamos t = 1 + u^2 => d t = 2 u d u . Assim,

L = (1)/(2) int_2^(1 + e^2) (sqrt(t))/(t - 1) d t

Fazendo uma nova mudança, u = t - 1 :

L = (1)/(2) int_1^(e^2) (sqrt(u + 1))/(u) d u

Assim,

L = (1)/(2) [2 sqrt(u + 1) + ln |(1 - sqrt(x + 1))/(1 + sqrt(x + 1))|]_1^(e^2)

Portanto,

L = (1)/(2) (2 sqrt(1 + e^2) + ln |(1 - sqrt(e^2 + 1))/(1 + sqrt(e^2 + 1))| - 2 sqrt(2) - ln ((sqrt(2) - 1)/(sqrt(2) + 1)))

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

(1)/(2) (2 sqrt(1 + e^2) + ln |(1 - sqrt(e^2 + 1))/(1 + sqrt(e^2 + 1))| - 2 sqrt(2) - ln ((sqrt(2) - 1)/(sqrt(2) + 1)))

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