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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.4 - Ex. 13

Determinar a massa total e o centro de massa.

13. O comprimento da barra é 6m e a densidade linear da barra em um ponto a xm de um extremo é (2x+3)kg/m.

Passo 1

Para começar precisamo entender que o centro de massa é o ponto em que podemos considerar que toda a massa do corpo está localizada ali.

Passo 2

Para encotrar a massa total usaremos a seguinte relação:

M t = ∫ 0 l ρ ( x ) d x

Onde nessa equação 𝞀 é a densidade do corpo e l é o comprimento da barra.

Com isso temos que a massa total pode ser expressa pela seguinte relação:

M t = ∫ 0 6 ( 2 x + 3 ) d x

Isso é, a massa total vai ser a integral da densidade.

M t = [ x 2 + 3 x ] | 6 0  

M t = ( 6 2 + 3 ( 6 ) ) - ( 0 2 + 3 0 )

M t = 50 k g

Achamos então a massa total da barra.

Passo 3

Para achar o centro de massa usaremos a seguinte relação:

x - = ∫ 0 l x ρ ( x ) M t

Onde l é o comprimento da barra e ρ ( x ) é a densidade.

Portanto temos a seguinte equação para o centro de massa:

x - = ∫ 0 6 x ( 2 x + 3 ) d x 50

x - = ∫ 0 6 ( 2 x 2 + 3 x ) d x 50

x - = 2 x 3 3 + 3 x 2 2 | 0 6 50

x - = 2 ( 6 ) 3 3 + 3 ( 6 ) 2 2 50

x - = 198 50 = 3,96 m

Resposta

Centro de massa: 3,96 metros

Massa total: 50 kg

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