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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 35

Ache o comprimento do arco da curva y = ln x entre x = 1 e x = 3 .

Passo 1

Para resolver essa questão, a primeira coisa a se fazer é lembrar a fórmula que calcula o comprimento de uma curva f ( x ) em um intervalo [ a , b ] .

L = int_a^b sqrt(1 + (f ' (x))^2) d x

Essa é a fórmula.

Passo 2

Precisamos de [ f ’ (x) ] e do intervalo de integração para montar a integral.

Se f (x) = ln x , então f ' (x) = (1)/(x) -> [f ' ( x )]^2 = (1)/(x^2) .

Já o intervalo de integração será de x = 1 até x = 3 , abscissas dadas no enunciado.

Sendo assim, o comprimento será dado por:

L = int_1^3 sqrt(1 + (1)/(x^2)) d x = int_1^3 sqrt((x^2 + 1)/(x^2)) d x = int_1^3 (sqrt(x^2 + 1))/(| x |) d x = int_1^3 (sqrt(x^2 + 1))/(x) d x

Temos |x| = x , pois 1 <= x <= 3 .

Passo 3

Podemos resolver essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta questão, nós vamos resolver a definida, no caminho, trocando os limites de integração, ok? Agora, para resolver, vamos precisar saber qual substituição trigonométrica usar.

Como nós temos a expressão x^2 + 1 = x^2 + 1^2 , isso indica a substituição com a tangente, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x = tan theta .

Passo 4

Façamos então a substituição:

[[x,=,tan theta],[d,x,=,sec^2 theta,d,theta]]

Dessa forma, x^2 = tan^2 theta -> x^2 + 1 = tan^2 theta + 1 = sec^2 theta .

Passo 5

Agora vamos trocar a variável da integral, mas antes vamos obter os limites de integração na variável theta . Seja então:

[[x,=,1,->,1,=,tan theta,->,,,,theta,=,(pi)/(4)],[x,=,3,->,3,=,tan theta,->,,,,,theta,=,tan^(- 1) 3]]

Substituindo tudo na integral e desenvolvendo, temos:

L = int_1^3 (sqrt(x^2 + 1))/(x) d x = int_((pi)/(4))^(tan^(- 1) 3) (sqrt(sec^2 theta))/(tan theta) sec^2 theta d theta = int_((pi)/(4))^(tan^(- 1) 3) (sec^3 theta)/(tan theta) d theta

= int_((pi)/(4))^(tan^(- 1) 3) (sec^3 theta)/(tan theta) d theta = int_((pi)/(4))^(tan^(- 1) 3) ((1)/(cos^3 theta))/((sen theta)/(cos theta)) d theta = int_((pi)/(4))^(tan^(- 1) 3) ((1)/(cos^2 theta))/(sen theta) d theta = int_((pi)/(4))^(tan^(- 1) 3) sec^2 theta csc theta d theta

= int_((pi)/(4))^(tan^(- 1) 3) overset(sec^2 theta)(obrace (1 + tan^2 theta)) csc theta d theta = int_((pi)/(4))^(tan^(- 1) 3) ( csc theta + tan^2 theta csc theta ) d theta

= int_((pi)/(4))^(tan^(- 1) 3) (csc theta + (sen^2 theta)/(cos^2 theta) * (1)/(sen theta)) d theta = int_((pi)/(4))^(tan^(- 1) 3) (csc theta + (sen theta)/(cos^2 theta)) d theta

= int_((pi)/(4))^(tan^(- 1) 3) (csc theta + tan theta sec theta) d theta

Prontinho!

Passo 6

Agora vamos resolver a definida.

Sabemos da integral definida que:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma, utilizando as integrais int csc theta d theta = - ln |csc theta + cot theta| + C e int tan theta sec theta d theta = sec theta + C , temos:

int_((pi)/(4))^(tan^(- 1) 3) (csc theta + tan theta sec theta) d theta = ((- ln |csc theta + cot theta| + sec theta)|_((pi)/(4))^(tan^(- 1) 3)

= (- ln |csc (tan^(- 1) 3) + cot (tan^(- 1) 3)| + sec (tan^(- 1) 3)) - (- ln |underset((2)/(sqrt(2)))(ubrace csc (pi)/(4)) + underset(1)(ubrace cot (pi)/(4))| + underset((2)/(sqrt(2)))(ubrace sec (pi)/(4)))

Este é o resultado, mas vamos simplificar usando as relações:

csc (tan^(- 1) x) = (sqrt(x^2 + 1))/(x) , cot (tan^(- 1) x) = (1)/(x) e sec (tan^(- 1) x) = sqrt(x^2 + 1)

Ficamos então com:

L = (- ln |(sqrt(3^2 + 1))/(3) + (1)/(3)| + sqrt(3^2 + 1)) - (- ln |(2)/(sqrt(2)) + 1| + (2)/(sqrt(2)))

= - ln ((sqrt(10) + 1)/(3)) + sqrt(10) - (- ln |sqrt(2) + 1| + sqrt(2))

= - ln ((sqrt(10) + 1)/(3)) + sqrt(10) + ln (sqrt(2) + 1) - sqrt(2)

= - ln ((sqrt(10) + 1)/(3)) + sqrt(10) + ln (sqrt(2) + 1) - sqrt(2)

Agora eu vou usar a propriedade ln a - ln b = ln ((a)/(b)) .

= ln ((sqrt(2) + 1)/((sqrt(10) + 1)/(3))) + sqrt(10) - sqrt(2)

L = ln ((3 sqrt(2) + 3)/(sqrt(10) + 1)) + sqrt(10) - sqrt(2)

Sendo assim, o comprimento é L = ln ((3 sqrt(2) + 3)/(sqrt(10) + 1)) + sqrt(10) - sqrt(2) u . c

Resposta

L = ln ((3 sqrt(2) + 3)/(sqrt(10) + 1)) + sqrt(10) - sqrt(2) u . c

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