Ache o comprimento do arco da curva y = ln x entre x = 1 e x = 3 .

Passo 1

Para resolver essa questão, a primeira coisa a se fazer é lembrar a fórmula que calcula o comprimento de uma curva f ( x ) em um intervalo [ a , b ] .

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Essa é a fórmula.

Passo 2

Precisamos de [ f ’ x ] e do intervalo de integração para montar a integral.

Se f x = ln ⁡ x , então f ' x = 1 x   →       f ' ( x ) 2 = 1 x 2 .

Já o intervalo de integração será de x = 1 até x = 3 , abscissas dadas no enunciado.

Sendo assim, o comprimento será dado por:

L = ∫ 1 3 1 + 1 x 2 d x = ∫ 1 3 x 2 + 1 x 2 d x = ∫ 1 3 x 2 + 1 | x | d x = ∫ 1 3 x 2 + 1 x d x

Temos x = x , pois 1 ≤ x ≤ 3 .

Passo 3

Podemos resolver essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta questão, nós vamos resolver a definida, no caminho, trocando os limites de integração, ok? Agora, para resolver, vamos precisar saber qual substituição trigonométrica usar.

Como nós temos a expressão x 2 + 1 = x 2 + 1 2 , isso indica a substituição com a tangente, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x = tan ⁡ θ .

Passo 4

Façamos então a substituição:

x = tan ⁡ θ d x = sec 2 ⁡ θ d θ

Dessa forma, x 2 = tan 2 ⁡ θ     →     x 2 + 1 = tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ .

Passo 5

Agora vamos trocar a variável da integral, mas antes vamos obter os limites de integração na variável θ . Seja então:

x = 1 → 1 = tan ⁡ θ →       θ = π 4 x = 3 → 3 = tan ⁡ θ →         θ = tan - 1 ⁡ 3

Substituindo tudo na integral e desenvolvendo, temos:

L = ∫ 1 3 x 2 + 1 x d x = ∫ π 4 tan - 1 ⁡ 3 sec 2 ⁡ θ tan ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ π 4 tan - 1 ⁡ 3 sec 3 ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

= ∫ π 4 tan - 1 ⁡ 3 sec 3 ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = ∫ π 4 tan - 1 ⁡ 3 1 cos 3 ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ π 4 tan - 1 ⁡ 3 1 cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ d θ = ∫ π 4 tan - 1 ⁡ 3 sec 2 ⁡ θ csc ⁡ θ d θ

= ∫ π 4 tan - 1 ⁡ 3 1 + tan 2 ⁡ θ ⏞ sec 2 ⁡ θ csc ⁡ θ d θ = ∫ π 4 tan - 1 ⁡ 3 ( csc ⁡ θ + tan 2 ⁡ θ csc ⁡ θ ) d θ

= ∫ π 4 tan - 1 ⁡ 3 csc ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ ⋅ 1 sen ⁡ θ d θ = ∫ π 4 tan - 1 ⁡ 3 csc ⁡ θ + sen ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ

= ∫ π 4 tan - 1 ⁡ 3 csc ⁡ θ + tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

Prontinho!

Passo 6

Agora vamos resolver a definida.

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma, utilizando as integrais ∫ csc ⁡ θ d θ = - ln ⁡ csc ⁡ θ + cot ⁡ θ + C e ∫ tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ = sec ⁡ θ + C , temos:

∫ π 4 tan - 1 ⁡ 3 csc ⁡ θ + tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ = - ln ⁡ csc ⁡ θ + cot ⁡ θ + sec ⁡ θ π 4 tan - 1 ⁡ 3

= - ln ⁡ csc ⁡ tan - 1 ⁡ 3 + cot ⁡ tan - 1 ⁡ 3 + sec ⁡ tan - 1 ⁡ 3 - - ln ⁡ csc ⁡ π 4 ⏟ 2 2 + cot ⁡ π 4 ⏟ 1 + sec ⁡ π 4 ⏟ 2 2

Este é o resultado, mas vamos simplificar usando as relações:

csc ⁡ tan - 1 ⁡ x = x 2 + 1 x   ,       cot ⁡ tan - 1 ⁡ x = 1 x       e    sec ⁡ tan - 1 ⁡ x = x 2 + 1

Ficamos então com:

L = - ln ⁡ 3 2 + 1 3 + 1 3 + 3 2 + 1 - - ln ⁡ 2 2 + 1 + 2 2

= - ln ⁡ 10 + 1 3 + 10 - - ln ⁡ 2 + 1 + 2

= - ln ⁡ 10 + 1 3 + 10 + ln ⁡ 2 + 1 - 2

= - ln ⁡ 10 + 1 3 + 10 + ln ⁡ 2 + 1 - 2

Agora eu vou usar a propriedade ln ⁡ a - ln ⁡ b = ln ⁡ a b .

= ln ⁡ 2 + 1 10 + 1 3 + 10 - 2

L = ln ⁡ 3 2 + 3 10 + 1 + 10 - 2

Sendo assim, o comprimento é L = ln ⁡ 3 2 + 3 10 + 1 + 10 - 2     u . c

Resposta

L = ln ⁡ 3 2 + 3 10 + 1 + 10 - 2     u . c

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