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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.4 - Ex. 16

Determinar a massa total e o centro de massa.

16. O comprimento da barra é 3 e a densidade linear da barra em um ponto a xm de um extremo é (5+2x)kg/m.

Passo 1

Para começar precisamo entender que o centro de massa é o ponto em que podemos considerar que toda a massa do corpo está localizada ali.

Passo 2

Para encotrar a massa total usaremos a seguinte relação:

M t = ∫ 0 l ρ ( x ) d x

Onde nessa equação 𝞀 é a densidade do corpo e l é o comprimento da barra.

Com isso temos que a massa total pode ser expressa pela seguinte relação:

M t = ∫ 0 3 ( 5 + 2 x ) d x

Isso é, a massa total vai ser a integral da densidade.

M t = [ 5 x + x 2 ] | 3 0  

M t = 5 ( 3 ) + 3 2 ) - ( 5 ( 0 ) + 0 2 )

M t = 24 k g

Achamos então a massa total da barra.

Passo 3

Para achar o centro de massa usaremos a seguinte relação:

x - = ∫ 0 l x ρ ( x ) M t

Onde l é o comprimento da barra e ρ ( x ) é a densidade.

Portanto temos a seguinte equação para o centro de massa:

x - = ∫ 0 3 x ( 5 + 2 x ) d x 2,52

x - = ∫ 0 3 ( 5 x + 2 x 2 ) d x 50

x - = 5 x 2 2 + 2 x 3 3 | 0 3 24

x - = 5 3 2 2 + 2 3 3 3 24

x - = 81 2 24 = 1,68 m

Resposta

Centro de massa: 1,68 m

Massa total: 24 k g

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9. y = 1 - ln ⁡ sen ⁡ x , π 6 ≤ x≤π 4
19. y = x 2 + 2 x - 1,0 ≤ x≤ 1
15. y = x 2, 0 ≤ x≤x
10. y = x 3 ,d eP 0 0,0a t eP 1 ( 4,8 )
17. x 2 - y 2 = 1d eP 0 3 , - 2 2a t eP 1 3,2 2