Determine o comprimento das curvas. Se tiver um programa gráfico, talvez queira esboçar o gráfico dessas curvas para ver como elas são

y = 3/4 * x^(4/3) - 3/8 * x^(2/3) + 5

1 ≤ x ≤ 8

Passo 1

Para calcularmos o comprimento da curva, devemos usar a fórmula para o comprimento.

Como temos uma função de x , a fórmula vai ser:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Entao precisamos de duas coisas, o intervalo de intergração, que ele deu no enunciado, e a derivada da f x , que é a função do enunciado.

O intervalo é de x = 1 até x = 8 , vamos para a derivada.

f x = 3 4 x 4 3 - 3 8 x 2 3 + 5

Derivando, vamos ter:

f ' x = 3 4 4 3 x 1 3 - 3 8 2 3 x - 1 3

f ' x = x 1 3 - 1 4 x - 1 3

Passo 2

Vamos para a interal do comprimento agora, usando oque achamos:

L = ∫ 1 8 1 + x 1 3 - 1 4 x - 1 3 2 d x

Como x é sempre positivo no intervalo de integração, podemos cortsar aquele expoente ½ com aquele quadrado sem necessidade de colocar o módulo

L = ∫ 1 8 1 + x 2 3 - 1 2 + x - 2 3 16 d x

L = ∫ 1 8 x 2 3 + 1 2 + x - 2 3 16 d x

Aquele termo dentro da raiz vai ser um trinômio quadrado perfeito

x 2 3 + 1 2 + x - 2 3 16 = x 1 3 2 + 2 x 1 3 x - 1 3 4 + x - 1 3 4 2 = x 1 3 + x - 1 3 4 2

Po, temos que adivinhar isso sempre? Não, mas fica aqui a dica. Quando estamos nessas questões de comprimento de arco, é muito comum aparecer trinômios quadrados perfeitos dentro dessa raiz quadrada, então sempre procure esses safadinho. Para isso, tente sempre comparar com

a 2 + 2 a b + b 2 = a + b 2

O comprimento vai ser:

L = ∫ 1 8 x 1 3 + x - 1 3 4 2 d x

Como o termo dentro da raiz é positivo nesse intervalo da integral, podemos cortar a raiz com o quadrado e não colocar o módulo.

L = ∫ 1 8 x 1 3 + x - 1 3 4 d x

Passo 3

Vamos resolver essa integral:

L = ∫ 1 8 x 1 3 + x - 1 3 4 d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ x 1 3 + x - 1 3 4 d x = x 4 3 4 / 3 + x 2 3 4 ( 2 / 3 ) + C = 3 4 x 4 3 + 3 8 x 2 3 + C

Passo 4

Voltando para a nossa integral definida:

L = ∫ 1 8 x 1 3 + x - 1 3 4 d x = 3 4 x 4 3 + 3 8 x 2 3 1 8 =

3 4 8 4 3 + 3 8 8 2 3 - 3 4 1 4 3 + 3 8 1 2 3 =

3 4 8 4 3 + 3 8 8 2 3 - 3 4 + 3 8 =

3 4 8 4 3 + 3 8 8 2 3 - 3.2 + 3 8 =

3 4 8 4 3 + 3 8 8 2 3 - 9 8 =

Lembrando que

8 4 3 = 8 3 4 = 2 4 = 16

8 2 3 = 8 3 2 = 2 2 = 4

Vamos ter:

3 4 16 + 3 8 4 - 9 8 =

12 + 3 2 - 9 8 =

12 + 3 2 - 9 8 =

24 + 3 2 - 9 8 =

27 2 - 9 8 =

27.4 - 9 8 =

108 - 9 8

99 8

Passo 5

Segue o gráfico dessa função para enxergamos como ela é:

Resposta

99 8

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