Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.1 - Ex. 37
Um falcão voando a m/s a uma altitude de m acidentalmente derruba sua presa. A trajetória parabólica de sua presa caindo é descrita pela equação
até que ela atinja o solo, onde é a altura acima do solo e , a distância horizontal percorrida em metros. Calcule a distância percorrida pela presa do momento em que ela é derrubada até o momento em que ela atinge o solo. Expresse sua resposta com precisão de um décimo de metro.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a distância percorrida pela presa, do momento em que ela é derrubada até o momento em que ela atinge o solo.
Basicamente, o que precisamos fazer é calcular o comprimento da curva que descreve a trajetória da presa. Assim, vamos usar a nossa fórmula de comprimento do arco:
Temos que e para acharmos , basta fazer na equação , porque nesse momento a presa atinge o solo e a distância vertical é igual a zero.
Além disso, é a derivada da nossa função. Então, basta a gente calcular o valor de e calcular a derivada da equação para substituir na nossa fórmula e calcular a integral.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar fazendo na nossa equação:
Isolando :
E tirando a raiz dos dois lados:
Assim, é o final do nosso intervalo.
Passo 3
Agora derivando a nossa equação, vamos ter:
Elevando esse resultado ao quadrado e somando , pra ficar igual ao integrando da nossa fórmula, temos:
Tirando o MMC do lado direito:
Passo 4
Desta forma, substituindo tudo na fórmula do passo , temos:
Vamos fazer a mudança de variável, com . Assim, teremos:
Pode se resolver essa integral fazendo-se a substituição trigonométrica . Como você já deve ter feito essa conta muitas vezes, vamos recorrer a fórmula 21 na tabela de integrais ao final do livro:
Assim, vamos ter:
Aplicando os limites de integração:
E usando as propriedades de logaritmo, simplificamos a equação na forma:
Fazendo essa conta em uma calculadora, obtemos:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉