Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.1 - Ex. 49
Ache o conjunto solução da desigualdade dada e mostre-o na reta numérica real
Passo 1
Queremos algum conjunto de números reais que satisfaça a inequação acima, maaaas.... tem um detalhe nessa questão.
Nesse caso temos que ter uma abordagem mais cautelosa porque temos módulos dos dois lados da desigualdade. Vamos definir uma metodologia tranquila de seguir pra problemas desse tipo:
- Encontrar as raízes e de cada binômio que está dentro dos módulos.
- Denominar 3 intervalos: . Estamos considerando
- Analisar o sinal do que está dentro do módulo para cada um dos intervalos e fazer uma tabelinha com esses sinais.
- Resolver a inequação para cada intervalo com o devido sinal para cada módulo.
- Após encontrar os 3 intervalos, realize a interseção entre cada um e seu respectivo intervalo na tabela
- O conjunto solução será formado pela união dos intervalos resultantes do passo 5.
Depois que você pega o jeito, os exercícios saem num instante ;) .
Passo 2
- A raízes serão os valores que zeram o que tem dentro dos módulos, no nosso caso:
- Daí já sabemos nossos 3 intervalos pra montar nossa tabela:
- Agora vamos montar nossa tabelinha de sinal:
- A partir da tabela vamos ficar com as 3 inequações:
- Pra encontrar nossos intervalos reais vamos fazer as interseções dos intervalos que acabamos de encontrar com seus respectivos intervalos de origem (lá da tabela):
- Pronto! Agora é só fazer a união dos intervalos que achamos e teremos o nosso conjunto solução:
Passo 3
Os sinais representam o sinal de cada equação para cada intervalo.
Resolvendo a 1ª inequação:
Isolando quem tem de um lado:
Passando o 2 dividindo:
Da 2ª equação:
Isolando os termos de :
Simplificando:
Da 3ª equação:
Jogando o pra lá:
Isolando o x:
Passo 4
Passo 3
Na reta numérica real, a representação do intervalo é:
Lembre-se das bolinhas fechadas, pois o intervalo é fechado!
Resposta
