Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.1 - Ex. 47
Ache o conjunto solução da desigualdade dada e mostre-o na reta numérica real
Passo 1
Queremos algum conjunto de números reais que satisfaça a inequação acima, maaaas.... tem um detalhe nessa questão.
Nesse caso temos que ter uma abordagem mais cautelosa porque temos módulos dos dois lados da desigualdade. Vamos definir uma metodologia tranquila de seguir pra problemas desse tipo:
- Encontrar as raízes e de cada binômio que está dentro dos módulos.
- Denominar 3 intervalos: . Estamos considerando
- Analisar o sinal do que está dentro do módulo para cada um dos intervalos e fazer uma tabelinha com esses sinais.
- Resolver a inequação para cada intervalo com o devido sinal para cada módulo.
- Após encontrar os 3 intervalos, realize a interseção entre cada um e seu respectivo intervalo na tabela
- O conjunto solução será formado pela união dos intervalos resultantes do passo 5.
Depois que você pega o jeito, os exercícios saem num instante ;) .
Passo 2
- Pra começar devagarinho, vamos definir os zeros dos binômios dentro dos módulos:
- Nossos 3 intervalos de análise serão:
- Na tabela ficamos com:
- Agora vamos resolver cada uma dessas inequações e encontrar nossos intervalos preliminares para .
- Pra encontrar o real conjunto solução vamos fazer as interseções dos intervalos com seus respectivos intervalos de análise:
- Fazendo a união desses conjuntos ficamos com o nosso conjunto solução bonitinho:
Passo 3
Os sinais representam o sinal de cada equação para cada intervalo.
Daí a gente vai ficar com as 3 inequações:
Da 1ª inequação:
Somando em ambos os lados:
Da primeira equação não conseguimos nenhuma solução, que também podemos representar pelo conjunto vazio.
Da 2ª inequação:
Somando em ambos os membros:
Daí tiramos que:
Da 3ª inequação:
Subtraindo de ambos os lados:
Que é verdadeiro para todo valor de .
Passo 3
Lembre-se: é o conjunto vazio!
Passo 3
Na reta numérica real, vamos ficar com todos os valores maiores que :
Resposta
