Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.1 - Ex. 52
Ache o conjunto solução da desigualdade dada e mostre-o na reta numérica real
Passo 1
Podemos reescrever essa inequação usando aquela propriedade de inequações:
Ou seja:
Isolando todo mundo de um lado em cada uma:
A partir dessas duas inequações vamos seguir um passo a passo pra cada uma delas
- Isolar todos os termos de um lado e simplificar em uma fração só
- Encontrar as raízes dos polinômios do numerador e do denominador
- Seccionar os números reais em intervalos delimitados pelas raízes encontradas
- Analisar o sinal de cada binômio para cada um dos intervalos e fazer uma tabelinha com esses sinais.
- Os intervalos onde a condição da nossa inequação for satisfeita serão os intervalos que formam o nosso conjunto solução!
Quando fizermos isso para as duas inequações é só juntar os intervalos e cabôsse!
Parece complicado, mas fazendo um passo por vez é tranquilinho ;)
Passo 2
Começando pela 1ª inequação:
Fazendo o MMC:
Simplificando:
Multiplicando por :
Invertendo o sinal!
Equação bonitinha!
Passo 3
Nossas raízes serão:
Daí teremos nossos intervalos de análise pra a tabela:
Como o nosso intervalo de interesse é fechado no vamos ter que considerar o valor da nossa função nas raízes também! Se o nosso intervalo fosse ou não precisaríamos considerar as raízes na análise do sinal.
Passo 4
Montando nossa tabelinha de sinais:
Vemos que o intervalo que satisfaz a nossa condição é o intervalo:
Prontinho! Já temos um dos intervalos que formará o conjunto solução. Agora vamos repetir a mesma metodologia para o caso da 2ª inequação
Passo 5
Da 2ª equação:
Fazendo o MMC e simplificando:
Show! Agora vamos às nossas raízes.
Passo 6
As raízes do denominador e do numerador são:
Agora podemos montar a nossa tabelinha com os seguintes intervalos:
Pra achar os intervalos onde a nossa equação é menor ou igual a .
Como o intervalo é fechado, vamos considerar o valor da função nas raízes também!
Passo 7
Daí ficamos com a nossa tabelinha de análise de sinal:
Vemos que os intervalos que satisfazem a condição são:
Passo 8
Pra finalizar é só fazer a interseção dos intervalos que encontramos, pois temos que satisfazer ambas as inequações simultaneamente.
Que a gente também pode enxergar assim:
Ficamos com o seguinte conjunto solução:
Passo 9
Na reta numérica real ficamos com todos os números reais de a :
Incluindo eles!
Resposta
